Un facile problema.. da spiaggia.
<BR>Siano ABC un triangolo acutangolo (con AB>BC) ed R
<BR>il simmetrico di C rispetto ad AB.La circonferenza per
<BR>ABR intersechi (ulteriormente) AC in Q,BC in S ed RC in T.
<BR>Calcolare il rapporto:
<BR><!-- BBCode Start --><B>(QB*SC)/(QD*RA)</B><!-- BBCode End -->
<BR>essendo D l\'intersezione della retta BT con AC.
<BR>
Geometria... estiva.
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Simo_the_wolf
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(QB*SC)/(QD*AC)=2
<BR>
<BR>Notiamo innanzitutto che AR=AC e che QB=QR=BC (quest\'ultimo xkè QBR è isoscele di base QR verificando che gli angoli alla base sono uguali).
<BR>Quindi otteniamo che (QB*SC)/(QD*AR)=(CB*CS)/(QD*AC)
<BR>CB*CS è la potenza di C rispetto alla circonf. BAR che è anke uguale a CQ*CA. Sostituendo abbiamo che il nostro rapporto è uguale a CQ/DQ.
<BR>Chiamiamo H l\'intersezione tra CR ed AB. Notiamo immediatamente che l\'angolo in H è retto; osserviamo inoltre che ABT=TRA=RCA (angoli) quindi i triangoli CDT e THB sono simili e in particolare hanno gli angoli H e D uguali.
<BR>Essendo D retto ed essendo CBQ isoscele per l\'osservazione iniziale allora BD, oltre ad essere altezza è anche mediana e quindi CQ/DQ=2.
<BR>
<BR>Spero di non essermi scordato di nulla!!
<BR>
<BR>Notiamo innanzitutto che AR=AC e che QB=QR=BC (quest\'ultimo xkè QBR è isoscele di base QR verificando che gli angoli alla base sono uguali).
<BR>Quindi otteniamo che (QB*SC)/(QD*AR)=(CB*CS)/(QD*AC)
<BR>CB*CS è la potenza di C rispetto alla circonf. BAR che è anke uguale a CQ*CA. Sostituendo abbiamo che il nostro rapporto è uguale a CQ/DQ.
<BR>Chiamiamo H l\'intersezione tra CR ed AB. Notiamo immediatamente che l\'angolo in H è retto; osserviamo inoltre che ABT=TRA=RCA (angoli) quindi i triangoli CDT e THB sono simili e in particolare hanno gli angoli H e D uguali.
<BR>Essendo D retto ed essendo CBQ isoscele per l\'osservazione iniziale allora BD, oltre ad essere altezza è anche mediana e quindi CQ/DQ=2.
<BR>
<BR>Spero di non essermi scordato di nulla!!
Un altro problema ...sotto l\'ombrellone.
<BR>Si consideri il triangolo ABC di cui siano rispettivamente:
<BR>I,G,r,R l\'incentro,il baricentro,il raggio \"inscritto\" ed il
<BR>raggio \"circoscritto\";si sa che il lato BC e\' la
<BR>semisomma degli altri due lati.
<BR>La retta IG tagli i lati AB ed AC in M ed N:
<BR>Dimostrare la relazione:
<BR> <!-- BBCode Start --><B> 3*(r\'+R\')=2*(r+R) </B><!-- BBCode End -->
<BR>essendo r\' ed R\' i raggi inscritto e circoscritto del triangolo AMN.
<BR>Si consideri il triangolo ABC di cui siano rispettivamente:
<BR>I,G,r,R l\'incentro,il baricentro,il raggio \"inscritto\" ed il
<BR>raggio \"circoscritto\";si sa che il lato BC e\' la
<BR>semisomma degli altri due lati.
<BR>La retta IG tagli i lati AB ed AC in M ed N:
<BR>Dimostrare la relazione:
<BR> <!-- BBCode Start --><B> 3*(r\'+R\')=2*(r+R) </B><!-- BBCode End -->
<BR>essendo r\' ed R\' i raggi inscritto e circoscritto del triangolo AMN.
Sia ABC un triangolo isoscele.Da un punto M della base
<BR>BC si conducano le rette parallele ai lati AB ed AC e si
<BR>indichino con E ed F le loro intersezioni con i lati medesimi
<BR>(E su AC, F su AB).
<BR>Dimostrare che sia l\'asse di EF che la circonferenza per
<BR>AEF passano per il circocentro di ABC.
<BR>BC si conducano le rette parallele ai lati AB ed AC e si
<BR>indichino con E ed F le loro intersezioni con i lati medesimi
<BR>(E su AC, F su AB).
<BR>Dimostrare che sia l\'asse di EF che la circonferenza per
<BR>AEF passano per il circocentro di ABC.