disuguaglianza disarmante

[talpuz]

dimostrare che
<BR>
<BR>n^1/n < 1 + sqrt(2/n)
<BR>
<BR>per ogni n naturale
<BR>
<BR>(vabè, tolto lo zero)

[J4Ck202]

Vogliamo provare che n < (1+sqrt(2/n))^n
<BR>
<BR>Innanzitutto abbiamo per Bernoulli
<BR>(1 + sqrt(2/n)) ^ (sqrt(n/2)) > 2
<BR>
<BR>Segue
<BR>(1+sqrt(2/n))^n > 4 ^ (sqrt(n/2))
<BR>
<BR>Inoltre n < 4^(sqrt(n/2)), dato che la disuguaglianza è equivalente
<BR>a 2n < 4^(sqrt(n)), che è a sua volta equivalente a 2n^2 < 4^n,
<BR>abbastanza trivial da provare. Per cui
<BR>
<BR>n < 4^(sqrt(n/2)) < (1+sqrt(2/n))^n
<BR>
<BR>n^(1/n) < 1 + sqrt(2/n) C.D.D.
<BR>
<BR>Se non ho sbagliato i conti seguendo lo stesso procedimento teorico
<BR>si ottiene anche una disuguaglianza un pizzico più forte:
<BR>
<BR>n^(1/n) < 1 + 2/(e log(2)) * 1/sqrt(n)
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: J4Ck202 il 07-07-2004 00:00 ]

[talpuz]

splendido..
<BR>
<BR>io mi ero perso in derivazioni che portavano a disugaglianze improponibili (soprattutto quell n^1/n) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">