Infinite cariche elettriche

[Franchifis]

Questo problema ha più matematica che altro, davvero!
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>In un piano ci sono infinite cariche unitarie + e - disposte nel seguente modo:
<BR>
<BR>... ... ... ... ...
<BR>
<BR>... + - + ...
<BR>
<BR>... - + - ...
<BR>
<BR>... + - + ...
<BR>
<BR>... ... ... ... ...
<BR>
<BR>Esattamente ad 1 m sopra una delle cariche + ce n\'è un\'altra uguale (+). Trovare la risultante delle forze che agiscono su quest\'ultima carica.
<BR>Costante dialettrica = 1/4pi (così non c\'è l\'impiccio della costante).
<BR>Ogni carica dista 1 m da quelle adiacenti.

[J4Ck202]

Mettiamo le cariche in un sistema di riferimento cartesiano XYZ.
<BR>La carica di prova sarà in (0,0,1) e tutte le altre sul piano XY.
<BR>Andando a considerare soltanto la componente Z delle forze attrattive
<BR>e repulsive (le componenti X e Y saranno ragionevolmente annientate
<BR>dalla simmetria del sistema) si ha che sulla carica di prova agisce una
<BR>forza pari a
<BR>
<BR>4{ sum[X=0..+inf]sum[Y=0..+inf] (-1)^(X+Y) / ((X²+Y²+1)^3/2) } -
<BR>- 2 sum[X=0..+inf] (-1)^(X) / ((X²+1)^3/2) } - 1 =
<BR>= ~ -0.274442
<BR>
<BR>eventualemente cambiata di segno se la carica di prova si trova al di sopra
<BR>di una carica negativa anzichè positiva come io ho supposto.
<BR>
<BR>

[Franchifis]

WOW! Io non sarei mari riuscito a risolverlo (nonostante sia stato io ad inventarlo). Complimenti! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">