Ritorno al ..passato

[karl]

1)Sia {X_n} (con n in N-{0}) una successione di numeri reali.
<BR>Determinare Xn in forma chiusa e stabilire il carattere della
<BR>successione sapendo che:
<BR>X₁=1,X₂=2 e X_n+2*X²_n=X³_n+1
<BR>2)Da un punto A,esterno alla circonferenza (O), si conducano
<BR>la tangente AM (M=punto di contatto) e la secanti AQ ed AS
<BR>che intersechino la (O) ulteriormente in P ed in R ,
<BR>essendo AQ>AP,AS>AR.
<BR>Detta T l\'intersezione delle rette PS ed RQ, dimostrare
<BR>che la retta MT taglia (O) nel punto N
<BR>di contatto dell\'altra tangente condotta da A ad (O).
<BR>
<BR>[Questo problema ha una (elegante) soluzione
<BR>proiettiva.Non ho indagato su quella puramente geometrica.]
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 11-08-2004 14:42 ]

[MASSO]

1) Scrivendo i primi termini della serie, senza sfruttare nessun teorema particolare, mi pare che venga: X1=1 , e tutti gli altri Xn con n>1 sono dati dalla formula 2^(2^(n-1)-1)

[karl]

La soluzione e\' quella.E\' gradita una ..giustificazione
<BR>magari facendo uso di log.
<BR>Ciao.

[Novecento]

1) Dimmi se ho capito e se si può fare così (ho seri dubbi):
<BR>
<BR>Applico il log da una parte e dall\'altra, poi scrivo il log del n+2 termine come differenza dei log (chiaramente moltiplicati per 2 e per tre) dei due termini precedenti, ma a questo punto posso trattare il tutto come una successione normale o i log me lo impediscono?
<BR>
<BR>
<BR>

[karl]

No! E\' sufficiente fare una posizione sostitutiva.
<BR>
<BR>
<BR>

[EvaristeG]

Uff i triangoli autopolari

[karl]

Per EvaristeG.
<BR>Mi scuso del ritardo ma non mi sono accorto in tempo
<BR>del tuo post.In verita\' cercavo la soluzione (puramente)
<BR>geometrica al mio quesito e non quella proiettiva
<BR>che e\' OT (... o quasi) su questo Forum.Tuttavia ,poiche\'
<BR>hai parlato dell\'ormai famoso \"triangolo diagonale\",debbo
<BR>dire che la mia soluzione non lo menziona affatto.Penso che
<BR>ti fara\' piacere leggerla visto le tue conoscenze in materia.
<BR>Dunque:
<BR><!-- BBCode Start --><B>
<BR>Poiche\' le coppie di punti (M,M),(P,Q),(R,S) sono allineate con A,
<BR>esse si corrispondono in una involuzione sulla circonferenza
<BR>il cui \"centro di collineazione\" e\' A ed i cui punti doppi sono i
<BR>punti di contatto delle due tangenti condotte da A alla crf( di questi
<BR>uno e\' M e l\'altro lo chiamo N).
<BR>In questa corrispondenza le coppie di rette (PM,QM) ,(PS,RQ),(RN,SN)
<BR>s\'incontrano su una medesima retta detta \"asse di collineazione\"
<BR>(che in effetti e\' la MN) e cio\' prova la questione.
<BR></B><!-- BBCode End -->
<BR>Almeno nella mia dimostrazione ,dunque,il triangolo diagonale non c\'entra,
<BR>anche se non escludo ,ovviamente, che possa comparire in altre con una
<BR>differente impostazione.
<BR>Cordialmente.
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 14-08-2004 13:15 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 16-08-2004 20:37 ]

[Simo_the_wolf]

Rieccomi, tornato dall\'Inghilterra...
<BR>
<BR>1) osserviamo che x_n+2/x_n+1=(x_n+1/x_n)² e quindi se il rapporto iniziale è 2 poi sarà 4, poi 16, poi 256 e quindi l\'n-esimo termine sarà la produttoria di 2^{2^n-2} cioè sarà x_n=2^{2^n-1-1}
<BR>

[karl]

Il risultato e\' ok!
<BR>Bentornato dalla \"perfida Albione\"!