2 problemi

[talpuz]

2 problemi, uno \"normale\" e una \"open question\"
<BR>
<BR>problema \"normale\"
<BR>
<BR>due tizi fanno un gioco: A lancia 6 volte una moneta, B lancia 7 volte una moneta
<BR>
<BR>qual\'è la probabilità che B faccia + teste di A?
<BR>
<BR>(notare che questo è il problema 7 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> del \'98, annata in cui i primi 5 problemi erano + facili del solito)
<BR>
<BR>\"open question\"
<BR>
<BR>trovare
<BR>
<BR>lim[n->+inf]sum[k=1->n/2] 1/(cos[(k*pi)/(n)])
<BR>
<BR>(è possibilissimo che diverga)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 18-08-2004 23:45 ]

[karl]

1°
<BR>Si tratta di associare il problema delle prove ripetute con
<BR>la probabilita\' totale e secondo i miei calcoli il risultato e\'
<BR>straordinariamente semplice;
<BR>Precisamente ,indicando con C(m,n) il coeff. binomiale,risulta:
<BR>P=(1/2)^13*[Sum{h-->0,6}(C(6,h)*Sum{k-->h+1,7}C(7,k))]
<BR>Si trova: <!-- BBCode Start --><B>P=1/2 </B><!-- BBCode End -->.Spero sia giusto.
<BR>2°
<BR>La somma sembra divergere.Ma questo risultato non e\' prevedibile
<BR>visto che per k=n/2 l\'ultimo termine della somma diventa
<BR>1/cos(Pi/2)?

[talpuz]

sì, vabè, in effetti era fino al termine prima di 1/cos(pi/2) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>comunque, che ne dite di questa
<BR>
<BR>lim[n->+inf]<B>(1/n)</B>*sum[k=1-><B>n-1</B>/2] 1/(cos[(k*pi)/(n)])
<BR>
<BR>attorno a quell\'n-1/2 ci starebbe anche INT (parte intera) insomma, lasciate fuori il termine 1/cos(pi/2) nella somma
<BR>
<BR>per il primo direi di sì, ma penso di aver trovato una soluzione un po\' meno \"computazionale\"
<BR>
<BR>vediamo se qualcun altro si intaressa
<BR>
<BR>(cmq tieni conto che durante i test non si possono usrare calcolatrici, e quella somma è un po\'...lunga da calcolare a mano <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 21-08-2004 13:41 ]

[karl]

In verita\' non ho faticato molto a calcolare le varie
<BR>somme,in quanto risulta:
<BR>128=2^7=(1+1)^7=C(7,0)+C(7,1)+C(7,2)+---+C(7,7)
<BR>da cui sottraendo un termine alla volta si ottengono
<BR>le somme che servono.Inoltre si puo\' approfittare
<BR>del fatto che C(6,k)=C(6,6-k).
<BR>Ciao.

[talpuz]

ok, questa è la mia soluzione:
<BR>
<BR>consideriamo i due eventi
<BR>
<BR>- B fa + teste di A, di probabilità p
<BR>- B fa + croci di A, di probabilità q
<BR>
<BR>questi due eventi, nel gioco in questione, sono disgiunti, e coprono tutti i possibili esiti (nel senso che uno ed esattamente uno di questi è verificato)
<BR>
<BR>dunque p+q=1
<BR>
<BR>ma è facile convincersi che p=q (c\'è una corrispondenza biunivoca tra i casi favorevoli dei due eventi, basta scambiare \"testa\" con \"croce\")
<BR>
<BR>quindi p+p=1, cioè p=1/2
<BR>
<BR>notare che la dimostrazione vale anche nel caso generalizzato in cui un giocatore fa n lanci, e l\'altro n+1 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">