tiriamo 2 somme

[psion_metacreativo]

Come si calcola la seguente somma?
<BR>
<BR>Dato un n naturale
<BR>Se n è dispari:
<BR>
<BR>Sum (i=1.... [n/2]-1) bin.(n-1 2i+1)
<BR>
<BR>Se n è pari:
<BR>
<BR>Sum (i=1.... n/2) bin.(n-1 2i+1)
<BR>
<BR>dove per [n/2] intendo parte intera di n/2
<BR>e bin. intendo il coefficente binomiale.

[psion_metacreativo]

Va benissimo anche se esprimete il risultato nei 2 casi, cmq l\'ideale sarebbe una formula generale che includa già la parità di n. Grazie a chi mi risponderà.

[karl]

Sono perplesso circa l\'esattezza del quesito.
<BR>Infatti nel caso di n pari l\'ultimo termine della somma e\'
<BR>C(n-1,n+1) ,con n-1 minore di n+1,e questa formula,a meno di non generalizzare il concetto di coeff.bin., non e\' lecita.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 21-08-2004 19:12 ]

[MindFlyer]

Aridaje. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>Cosa intendi per \"calcolare\"? Vuoi una cosiddetta formula chiusa? Cosa intendi per formula chiusa?

[karl]

Caso n \"even\".
<BR>[Nota:considero nulli i coeff.bin. C(p,q) con p minore di q ]
<BR>Per n=2m,si ha:
<BR>[C(m,n)=coeff.binom.]
<BR>A) 2^(2m-1)=(1+1)^(2m-1)=
<BR>C(2m-1,0)+C(2m-1,1)+C(2m-1,2)+...+C(2m-1,2m-1)+C(2m-1,2m)+C(2m-1,2m+1)
<BR>
<BR>B)0=(1-1)^(2m-1)=
<BR>C(2m-1,0)-C(2m-1,1)+C(2m-1,2)-...-C(2m-1,2m-1)+C(2m-1,2m)-C(2m-1,2m+1)
<BR>
<BR>Sottraendo (B) da (A) risulta:
<BR>2^(2m-1)=2*C(2m-1,1)+2*C(2m-1,3)+......+2*C(2m-1,2m-1)
<BR>da cui (tornando a 2m=n):
<BR>2^(n-2)-(n-1)=C(n-1,3)+C(n-1,5)+.....+C(n-1,n-1)
<BR>Dunque la somma richiesta ,nel caso di n \"even\",e\':
<BR>S=2^(n-2)-(n-1).
<BR>
<BR>Uno studio analogo permette di concludere che la stessa
<BR>formula vale anche nel caso di n \"odd\".
<BR>
<BR>Formula conclusiva: <!-- BBCode Start --><B>S=2^(n-2)-(n-1)</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: karl il 21-08-2004 20:43 ]