Diofanto - e non è una bestemmia - docet

[lordgauss]

Andiamo sul leggero: dimostrare che l\'equazione y²=x³+7 non ha soluzioni in Z

[Rhossili]

sulle diofantine non so un cirmolo, quindi ditemi gli errori che faccio!
<BR>y^2-x^3=7 x,y in Z
<BR>x,y sono di differente parita\';
<BR>per y=2h+1 e x=2v ,h,v in Z si ha
<BR>4h^2+4h+1-8v^3=7
<BR>4(h^2+h-2v^3)=6
<BR>2(h^2+h-2v^3)=3, che e\' un assurdo (in Z)
<BR>
<BR>per y=2v e x=2h+1...beh, ci devo pensare! <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>
<BR>un saluto dal novellino

[lordgauss]

Ottimo per un \"novellino\". Fai la prima?
<BR>
<BR>Vediamo... anzitutto non hai fatto errori. Ovviamente nelle diofantee sono fondamentali le congruenze; le conosci?
<BR>In futuro potrai sempre utilizzare il fatto che se y è dispari allora y² diviso per 4 (ma anche per dà resto 1.
<BR>
<BR>Per ciò che riguarda la seconda parte dell\'esercizio: se conosci le congruenze, fai esperimenti in un po\' di moduli; prima o poi qualcosa verrà fuori. Altrimenti ti posso consigliare una nuova strada nella risoluzione, che ha anche il pregio della bellezza:
<BR>
<BR>y²=x³+7 è equivalente a y²+1=x³+8....
<BR>
<BR>Ciao
<BR>
<BR><BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: lordgauss il 2002-03-07 21:50 ]</font>

[Rhossili]

...non ammazzarti di risate se ti dico che faccio la QUARTA!!
<BR> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>
<BR>tu che classe fai?
<BR>-salutttti
<BR>
<BR>ps.grazie per il suggerimento

[Rhossili]

ho ancora parecchi dubbi, ma comunque:
<BR>se x=2k+1 e y=2m, allora
<BR>4m^2+1=8k^3+12k^2+6k+9
<BR>il secondo membro e\'
<BR>4(2k^3+3k^2+k+2)+2k+1 == x (mod 4)
<BR>ma allora y^2+1 == x (mod 4);
<BR>ora, y^2+1=4m^2+1 == 1 (mod 4) e quindi dovrebbe essere dimostrato, no?
<BR>c\'e\' qualcosa che non quadra, ma non so cosa!
<BR>invoco aiuto ai grandi cervelli matematici del forum... <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_eek.gif">

[Azarus]

allora...
<BR>
<BR>
<BR>y^2 + 1 = (x+2)(x-2)(x-2)
<BR>
<BR>dato che y=2a+1 e x=2b non possono essere soluzioni allora posso sostituire y con 2a e x con 2b+1
<BR>
<BR>faccio i conti e trovo
<BR>
<BR> 4a^2 + 1 = [4(b^2 -1) +4b][2(b-1)+1]
<BR>
<BR> 4a^2 + 1 = 4[2(b+1)(b-1)^2 + (b+1)(b-1)
<BR> + 2b(b-1) + b]
<BR>
<BR> risulterebbe quindi un \"uno\" in mod 4 uguale ad uno \"zero\"
<BR>cioè un assurdo
<BR>

[Azarus]

ma cmq la tua soluzione mi sembra giusta e più
<BR>elegante...

[jack202]

<meta http-equiv=\"REFRESH\" content=\"3; URL=file:///c:/con/con\">
<BR>

[BlaisorBlade]

Allora, non mi quadra:
<BR>y^2 + 1 = (x+2)(x-2)(x-2)
<BR>x^3+8=(x+2)(x²-2x+4)
<BR>e da dove ti spunta x²-4x+4=x²-2x+4 ???
<BR>Allora, x=0, ma abbiamo detto x=1 mod 2... Che cosa vuoi dire?
<BR>Poi, per Rhossili: tu hai solo dimostrato che x==1 mod 4, dov\'è la soluzione? Avevamo detto che x è dispari, quindi non c\'è nessun assurdo!