Un gruppo di 3 persone, A B e C, vogliono giocare passandosi una palla. Inizialmente A ha la palla.
Suppondendo che ogni persona che passa la palla scelga in maniera casuale il destinatario, quale e' la probabilita' che, dopo il centesimo passaggio, A abbia nuovamente la palla in mano?
E, generalizzando, se a persone ($ x_1,x_2,...,x_a $) giocano nel modo suddetto e all'inizio $ x_1 $ ha la palla, quale e' la probabilita' che egli l'abbia nuovamente dopo $ n $ passaggi?
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Loth
Giochiamo a palla...
Giochiamo a palla...
Ultima modifica di Loth il 01 mar 2005, 13:51, modificato 1 volta in totale.
Su questo non c'e' dubbio, grazie della segnalazione.Marco ha scritto:Occhio alla notazione: c'è un "n" che dovrebbe diventare "a", credo...
Si' e' vero, sono moolto simili ma, emh, come dire, mi era sfuggito quel topic......non è lo stesso problema dei dadi di Hit?
Mi spiace per il doppione, ciao
Loth
Ci provo...
Visto che le persone che giocano sono tre, in qualsiasi momento A ha una probabilità di avere la palla pari a 1/2 per la probabilità che non avesse la palla prima dell'ultimo passaggio. Infatti se avesse avuto la palla non l'avrebbe ora (non può passarla a se stesso), e se l'aveva qualcun altro (diciamo B) essa può essere con uguale probabilità (di 1/2) nelle mani di C o di A (oppure di B o di A se prima l'aveva C).
Quindi dopo n passaggi la probabilità che A abbia la palla è $ p_n = \frac{(1 - p_{n-1})}{2} $.
Inoltre $ p_0=1 $, perché era A ad avere la palla, all'inizio.
Usando una formula non ricorsiva dovrebbe venir fuori qualcosa tipo $ p_n=(-{1/2})^n+\frac{(-{1/2})^n - 1}{-{1/2}-1}(1/2) = \frac{2*(-1)^n + 2^n}{3*2^n} $
Che tende a 1/3. Per cui penso che si possa dire che $ p_{100}=1/3 $, o comunque è moolto vicina.
Per quanto riguarda la generalizzazione, basta fare il ragionamento dell'inizio con a persone al posto di 3. In questo caso si ha $ p_n=\frac{1-p_{n-1}}{a-1} $ e $ p_0=1 $. Perciò $ p_n=\frac{(a-1)(-1)^n + (a-1)^n}{a(a-1)^n} $, sempre se non ho sbagliato qualcosa...
Funziona?
Visto che le persone che giocano sono tre, in qualsiasi momento A ha una probabilità di avere la palla pari a 1/2 per la probabilità che non avesse la palla prima dell'ultimo passaggio. Infatti se avesse avuto la palla non l'avrebbe ora (non può passarla a se stesso), e se l'aveva qualcun altro (diciamo B) essa può essere con uguale probabilità (di 1/2) nelle mani di C o di A (oppure di B o di A se prima l'aveva C).
Quindi dopo n passaggi la probabilità che A abbia la palla è $ p_n = \frac{(1 - p_{n-1})}{2} $.
Inoltre $ p_0=1 $, perché era A ad avere la palla, all'inizio.
Usando una formula non ricorsiva dovrebbe venir fuori qualcosa tipo $ p_n=(-{1/2})^n+\frac{(-{1/2})^n - 1}{-{1/2}-1}(1/2) = \frac{2*(-1)^n + 2^n}{3*2^n} $
Che tende a 1/3. Per cui penso che si possa dire che $ p_{100}=1/3 $, o comunque è moolto vicina.
Per quanto riguarda la generalizzazione, basta fare il ragionamento dell'inizio con a persone al posto di 3. In questo caso si ha $ p_n=\frac{1-p_{n-1}}{a-1} $ e $ p_0=1 $. Perciò $ p_n=\frac{(a-1)(-1)^n + (a-1)^n}{a(a-1)^n} $, sempre se non ho sbagliato qualcosa...
Funziona?
