OliForum Matematico

Un gruppo di 3 persone, A B e C, vogliono giocare passandosi una palla. Inizialmente A ha la palla.
Suppondendo che ogni persona che passa la palla scelga in maniera casuale il destinatario, quale e' la probabilita' che, dopo il centesimo passaggio, A abbia nuovamente la palla in mano?

E, generalizzando, se a persone ($ x_1,x_2,...,x_a $) giocano nel modo suddetto e all'inizio $ x_1 $ ha la palla, quale e' la probabilita' che egli l'abbia nuovamente dopo $ n $ passaggi?

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Loth

Occhio alla notazione: c'è un "n" che dovrebbe diventare "a", credo...
...non è lo stesso problema dei dadi di Hit?

Marco ha scritto:Occhio alla notazione: c'è un "n" che dovrebbe diventare "a", credo...

Su questo non c'e' dubbio, grazie della segnalazione.

...non è lo stesso problema dei dadi di Hit?

Si' e' vero, sono moolto simili ma, emh, come dire, mi era sfuggito quel topic...
Mi spiace per il doppione, ciao


Loth

Non vedo perche' n debba essere uguale ad a:mica e' detto che il
numero dei lanci sia uguali a quello dei giocatori,anzi!

karl ha scritto:Non vedo perche' n debba essere uguale ad a:mica e' detto che il
numero dei lanci sia uguali a quello dei giocatori,anzi!

No, ha ragione Marco, e' che ho gia' corretto. Prima avevo scritto:

E, generalizzando, se n persone ($ x_1,x_2,...,x_a $) giocano ...

OK! Gli e' che leggevo il tuo post non corretto..
Ciao.

Ci provo...
Visto che le persone che giocano sono tre, in qualsiasi momento A ha una probabilità di avere la palla pari a 1/2 per la probabilità che non avesse la palla prima dell'ultimo passaggio. Infatti se avesse avuto la palla non l'avrebbe ora (non può passarla a se stesso), e se l'aveva qualcun altro (diciamo B) essa può essere con uguale probabilità (di 1/2) nelle mani di C o di A (oppure di B o di A se prima l'aveva C).
Quindi dopo n passaggi la probabilità che A abbia la palla è $ p_n = \frac{(1 - p_{n-1})}{2} $.
Inoltre $ p_0=1 $, perché era A ad avere la palla, all'inizio.
Usando una formula non ricorsiva dovrebbe venir fuori qualcosa tipo $ p_n=(-{1/2})^n+\frac{(-{1/2})^n - 1}{-{1/2}-1}(1/2) = \frac{2*(-1)^n + 2^n}{3*2^n} $
Che tende a 1/3. Per cui penso che si possa dire che $ p_{100}=1/3 $, o comunque è moolto vicina.
Per quanto riguarda la generalizzazione, basta fare il ragionamento dell'inizio con a persone al posto di 3. In questo caso si ha $ p_n=\frac{1-p_{n-1}}{a-1} $ e $ p_0=1 $. Perciò $ p_n=\frac{(a-1)(-1)^n + (a-1)^n}{a(a-1)^n} $, sempre se non ho sbagliato qualcosa...
Funziona?

Direi proprio di si'

Forse non ero l'unico a non aver visto il topic sui dadi

Scusate, la probabilità chiesta non potrebbe essere più semplicemente questa?

(a - 2)/(a - 1)^2