un'altra diofantea...

[thematrix]

Trovare tutte le sol intere a

$ x^2-y^3=7 $

(thanks pazqo)

[HiTLeuLeR]

Per assurdo, ammettiamo ch'esistano $ x,y\in\mathbb{Z} $ tali che: $ x^2 - y^3 = 7 $, ovvero $ x^2 + 1 = y^3 + 8 = (y + 2)(y^2 - y + 4) $. E' innanzitutto evidente che $ x $ ed $ y $ posseggono opposte parità. Per assurdo, sia $ x \equiv 1 \bmod 2 $. E allora: $ x^2 \equiv 1 \bmod 4 $ e $ y^3 \equiv 0 \bmod 4 $, perciocché: $ 7 \equiv x^2 - y^3 \equiv 1 \bmod 4 $, la qual condizione è palesemente inconciliabile!!! Dunque $ x \equiv 0 \bmod 2 $ ed $ y \equiv 1 \bmod 2 $. Sia perciò $ y = 2z + 1 $, con $ z\in\mathbb{Z} $. Siccome dev'essere $ x^2 + 1 = y^3 + 8 = (y + 2)(y^2 - 2y + 4) $, per sostituzione se ne deduce: $ x^2 + 1 = (2z + 3)(4z^2 + 3) $. E tuttavia, l'intero $ 4z^2 + 3 $ possiede necessariamente nella sua decomposizione canonica euclidea almeno un fattore primo $ q \equiv 3 \bmod 4 $, sicché - sulla base di quanto stabilito finora: $ x^2 + 1 \equiv 0 \bmod q $, ovvero $ x^2 \equiv -1 \bmod q $, di nuovo assurdo!!! E' noto infatti che $ -1 $ non è residuo quadratico dei primi della forma $ 4k+3 $ (con $ k\in\mathbb{N} $). Se ne conclude in definitiva che la diofantea proposta non ammette alcuna soluzione in numeri interi.

[Boll]

Oggi non me ne va bene una... Confondere un 2 con un 1 a volte è parecchio dannoso

[HiTLeuLeR]

Non intervengo quasi mai sulla correzione di problemi ch'io stesso non abbia proposto, ma vabbe'... per Bollazzo farò volentieri un'eccezione!!! Così s'impara a sboroneggiare in giro per la chat, gh...

[dunque] $ k^2=18j^3+4j^2+j+2 $, che implica $ k^2\equiv 0 $ $ (\mod 3) $, poichè facendo i $ 3 $ casi di $ j $ modulo $ 3 $ in due di essi a sinistra risulteremo congrui a due, assurdo perchè i residui quadratici modulo $ 3 $ sono zero e uno.

Ehmmm... Se $ j\equiv 0 \bmod 3 $, evidentemente: $ k^2 \equiv 2 \bmod 3 $, condizione in tutta ovvietà inattuabile (si sfrutti il lemma di Gauss sul carattere quadratico di $ 2 $ o si proceda in alternativa per ispezione diretta dei casi); se $ j\equiv 1 \bmod 3 $, allora: $ k^2 \equiv 1 \bmod 3 $, e quindi $ k \not\equiv 0 \bmod 3 $; se infine $ j\equiv 2 \bmod 3 $, analogamente alla i): $ k^2 \equiv 2 \bmod 3 $, e si conclude come già in precedenza. Dunque mi chiedo: Boll, sei sicuro di sentirti bene?!?