sia $ n $ un intero positivo, e siano $ a,b,c,d $ interi positivi tali che $ a^2+b^2+c^2+d^2 = 7 \cdot 4^n $.
dimostrare che $ a,b,c,d \ge 2^{n-1} $.
quattro quadrati
il risveglio felice...
Lemma #1: per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $, esiste una 4-upla $ (a,b,c,d) $ di interi positivi tali che $ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 7 \cdot 4^n $.
Dim.: si ponga $ a := 2^{n-1}\cdot 5 $ e $ b = c = d := 2^{n-1} $.
Lemma #2: se $ n $ è un naturale $ \geq 2 $ e $ (a,b,c,d) $ una 4-upla di interi positivi tali che $ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 7 \cdot 4^n $, allora $ a \equiv b \equiv c \equiv d \equiv 0 \bmod 2 $.
Dim.: siano dunque $ (a,b,c,d) $ una soluzione in interi positivi dell'equazione diofantea $ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 7 \cdot 4^n $ e $ k $ la sua disparità, ovvero il numero degli elementi della 4-upla dotati di valenza dispari. Per assurdo, ammettiamo $ a \equiv b \equiv c \equiv d \equiv 1 \bmod 2 $, ossia $ k = 4 $. E allora, poiché $ t^2 \equiv 1 \bmod 8 $, se $ t \equiv 1 \bmod 2 $, nonché considerando che si ammette $ n\in\mathbb{N}\setminus\{0, 1\} $: $ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 7 \cdot 4^n $ solo se $ 1 + 1 + 1 + 1 \equiv 0 \bmod 8 $, assurdo! Se ne deduce dover essere $ 0 \leq k \leq 3 $. D'altro canto, tuttavia: $ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 7 \cdot 4^n $ solo se $ k \equiv 0 \bmod 4 $, sicché necessariamente $ k = 0 $. Ne seguita la tesi, q.e.d.
Dim.: si ponga $ a := 2^{n-1}\cdot 5 $ e $ b = c = d := 2^{n-1} $.
Lemma #2: se $ n $ è un naturale $ \geq 2 $ e $ (a,b,c,d) $ una 4-upla di interi positivi tali che $ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 7 \cdot 4^n $, allora $ a \equiv b \equiv c \equiv d \equiv 0 \bmod 2 $.
Dim.: siano dunque $ (a,b,c,d) $ una soluzione in interi positivi dell'equazione diofantea $ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 7 \cdot 4^n $ e $ k $ la sua disparità, ovvero il numero degli elementi della 4-upla dotati di valenza dispari. Per assurdo, ammettiamo $ a \equiv b \equiv c \equiv d \equiv 1 \bmod 2 $, ossia $ k = 4 $. E allora, poiché $ t^2 \equiv 1 \bmod 8 $, se $ t \equiv 1 \bmod 2 $, nonché considerando che si ammette $ n\in\mathbb{N}\setminus\{0, 1\} $: $ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 7 \cdot 4^n $ solo se $ 1 + 1 + 1 + 1 \equiv 0 \bmod 8 $, assurdo! Se ne deduce dover essere $ 0 \leq k \leq 3 $. D'altro canto, tuttavia: $ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 7 \cdot 4^n $ solo se $ k \equiv 0 \bmod 4 $, sicché necessariamente $ k = 0 $. Ne seguita la tesi, q.e.d.
triviality delux!!!
Soluz.: ragioniamo per induzione. Se $ n = 1 $, la tesi è banale. Infatti, se $ (a_1, b_1, c_1, d_1) $ è una 4-upla di interi positivi tali che $ a_1^2+b_1^2+c_1^2+d_1^2 = 7 \cdot 4 $, allora evidentemente $ \min(a_1, b_1, c_1, d_1) \geq 1 = \left.{2^{n-1}}\!\right\mid_{n = 1} $. Essendo poi soddisfatta per un generico $ n \in\mathbb{N}_0 $, sia quindi $ (a_{n+1}, b_{n+1}, c_{n+1}, d_{n+1}) $ una qualche soluzione in interi positivi alla diofantea $ a^2+b^2+c^2+d^2 = 7 \cdot 4^{n+1} $. Incidentalmente, dico che l'esistenza di una 4-upla così fatta è garantita dal lemma #1.ma_go ha scritto:Sia $ n $ un intero positivo, e siano $ a,b,c,d $ interi positivi tali che $ a^2+b^2+c^2+d^2 = 7 \cdot 4^n $.
dimostrare che $ a,b,c,d \ge 2^{n-1} $.
Allora, in base all'ulteriore lemma #2, esistono $ a_n,b_n,c_n,d_n\in\mathbb{N}_0 $ tali che $ a_{n+1} = 2a_n $, $ b_{n+1} = 2b_n $, $ c_{n+1} = 2c_n $ e $ d_{n+1} = 2d_n $. Inoltre, poiché $ a_{n+1}^2+b_{n+1}^2+c_{n+1}^2+d_{n+1}^2 = 7 \cdot 4^{n+1} $, così pure: $ a_n^2 + b_n^2 + c_n^2 + d_n = 7 \cdot 4^n $, ovvero $ (a_n, b_n, c_n, d_n) $ è una soluzione in interi positivi dell'equazione $ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 7 \cdot 4^n $. Ergo, in base all'ipotesi di induzione: $ \min(a_{n+1}, b_{n+1}, c_{n+1}, d_{n+1}) = 2 \cdot \min(a_n, b_n, c_n, d_n) \geq 2\cdot 2^{n-1} = 2^n $. Di qui prontamente l'asserto, q.e.d.
*sborr*
Oh, per inciso, si noti che gli argomenti usati nella risoluzione del problema precedente consentono altresì di determinare la totalità delle 4-uple $ (a,b,c,d) $ d'interi positivi che risolvono la diofantea proposta dal nostro ma_go di corte. Per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $, e a meno di un'inessenziale permutazione sulle componenti, queste sono infatti tutte e sole della forma $ (2^{n-1}\cdot 5,2^{n-1},2^{n-1},2^{n-1}) $, oppure $ (2^{n+1},2^n,2^n,2^n) $, o ancora $ (2^{n-1}\cdot 3,2^{n-1}\cdot 3,2^{n-1}\cdot 3,2^{n-1}) $. E con questo mo' posso pure tornare felice allo "squallore" (?!?) del mio lavoro da ingegnere... 
sigh... non vedo l'utilità di postare una soluzione breve e poco articolata in 3 messaggi, e di usare addirittura due lemmi.
poteva tranquillamente stare tutto in un messaggio, ed essere molto meno pomposo.
comunque, per inciso, questo problema mi è molto antipatico.
[era un modo di dire, circa, "scusate per l'acidità"]
poteva tranquillamente stare tutto in un messaggio, ed essere molto meno pomposo.
comunque, per inciso, questo problema mi è molto antipatico.
[era un modo di dire, circa, "scusate per l'acidità"]
l'arte del commentare!
Come tu m'insegni, caro ma_go, "utile" e "utilità" sono termini ingegnerestici, e un aspirante stregone-Matematico come se' tu non dovrebbe mai (e dico MAI!!!) usare parole tanto indecorose... In quanto ai tuoi commenti sullo stile, non mi va di ripetermi, tanto più che: i) ciascuno ha il suo, o così dovrebbe - credo fermamente - risultare, a meno di non essere idiotonti; ii) una volta tanto, mi sarei aspettato che anche tu potessi entrare nel merito Matematico delle questioni sopra cui intervieni, anziché limitarti ai consueti tuoi commenti sciapi e improduttivi. E siccome par che fare ammenda in tempo reale lavi la coscienza agli occhi dei potenti, beh... Mi si scusi l'acidità, se posso fare il verso proprio a te: è che ho mangiato, anche oggi, uno yogurt già scaduto il mese scorso, ma giusto per tenere il mio pH ai suoi livelli standard, ecco tutto...ma_go ha scritto:non vedo l'utilità di postare una soluzione breve e poco articolata in 3 messaggi, e di usare addirittura due lemmi.
utile è il tempo che si perde leggendo i messaggi oblunghi...
sulla soluzione non ho null'altro da eccepire. quello che c'era da dire (ovvero la leziosità) è stato detto.
se ci fosse stato qualche errore (e, devo ammettere, sinora ti ho visto prendere pochi granchi, tuttavia non nessuno) te l'avrei certamente fatto notare, e molto volentieri...
m.
ps. il problema mi è antipatico di per sé, a prescindere dalla tua soluzione.
sulla soluzione non ho null'altro da eccepire. quello che c'era da dire (ovvero la leziosità) è stato detto.
se ci fosse stato qualche errore (e, devo ammettere, sinora ti ho visto prendere pochi granchi, tuttavia non nessuno) te l'avrei certamente fatto notare, e molto volentieri...
m.
ps. il problema mi è antipatico di per sé, a prescindere dalla tua soluzione.
Ehmmm... Scusa, non te li annoterai mica sull'agenda, eeeh?ma_go ha scritto:[...] sinora ti ho visto prendere pochi granchi, tuttavia non nessuno [...]
Mi suona davvero buffo questa tua incidentale, credimi! In ogni caso, e al di là di ogni retorica, sono proprio gli errori i successi miei più grandi, è appunto sugli errori che ho imparato quel po' che posso dire di sapere. Pertanto, quando verrà il tempo che un ma_go qualsivoglia, piccolo ad arbitrio, possa aprire un varco tra le tenebre della curiosa mia ignoranza, beh... certo non starò lì ad infilzarmi le chiappe, e anzi cercherò di trarne tutto il profitto possibile! Ciau... 