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Si tratta di un teorema relativamente noto:
In un triangolo la somma algebrica delle distanze del circocentro dai tre
lati e' R+r [R=circoraggio,r=inraggio]
N.B.
La distanza del circocentro da un lato si considera positiva o negativa a seconda
che il circocentro ed il vertice opposto a quel lato siano o no dalla stessa parte
rispetto al lato medesimo.

Oltre la contosa soluzione trigonometrica non sono andato... Ne esiste una migliore?

Una soluzione senza trigonometria c'e',anche se non puramente geometrica.Del
resto il problema ,avendo come tesi una formula,richiede secondo me comunque dei calcoli .La dimostrazione che ho io si basa su Tolomeo e sul calcolo di un'area.

Vegliamo provare che $ R(\cos A + \cos B + \cos C) = R + r $ ma dalla 18 abbiamo $ \displaystyle R(\cos A + \cos B + \cos C) = R \left ( 1+4\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}} \right ) $ e quindi la tesi diventa $ \displaystyle \frac{r}{R}=4\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}} $ che è la 14