OliForum Matematico

A qualcuno ricorderà qualcosa

Problema
Provare che per ogni $ n $, intero positivo, l'espressione
$ \displaystyle \frac{3^{2^n}-2^{n+2}-1}{2^{n+3}} $ risulta essere intera

Molto carino,dovrei averlo fatto

Proviamo per induzione:
per n=1 viene $ \displaystyle \frac{9-8-1}{16} = 0 $,e funziona.

Per il passo induttivo,per passare da n a n+1,si deve aggiungere una quantità pari a $ \displaystyle \frac{3^{2^{n+1}}-2^{n+3}-1}{2^{n+4}} - \frac{3^{2^n} - 2^{n+2}-1}{2^{n+3}} $,che risulta essere $ \displaystyle \frac{3^{2^{n+1}}-2*3^2^n - 1}{2^{n+4}} $,uguale a $ \displaystyle \frac{(3^{2^n})^2 - 2*3^2^n - 1}{2^{n+4}} $,quindi a $ \displaystyle \frac{(3^{2^n} - 1)^2}{2^{n+4}} $.Siccome per ipotesi $ \displaystyle 3^{2^n} - 1 $ divideva $ \displaystyle 2^{n+2} $,il suo quadrato dividerà $ \displaystyle 2^{n+4} $,e quindi si ha la tesi,poichè nel passo induttivo viene aggiunto un intero a un altro intero.
É giusta??

Aaah, non hai chiuso un pò di graffe, metti a posto tutto, per favore, così non misinterpreto, poi la leggo attentamente

Ok, matrice, tutto perfetto, certo, un correttore inflessibile come Euler ti farebbe un milione di pare, ma in fondo è meglio dare solo le tracce guida, uno non si diverte a leggere una dimostrazione "troppo perfetta"

thematrix ha scritto:Siccome per ipotesi $ \displaystyle 3^{2^n} - 1 $ divideva $ \displaystyle 2^{n+2} $, il suo quadrato dividerà $ \displaystyle 2^{n+4} $ [...]

Premessa: ho letto la tua soluzione con sonnecchiante e svogliata attenzione!
Osservazione: è impensabile che $ \displaystyle 3^{2^n} - 1 $ possa dividere $ \displaystyle 2^{n+2} $, visto che definitivamente $ \displaystyle 3^{2^n} - 1 $ $ > 2^{n+2} $.
Conclusione: come correttore, Bollazzo è persino peggio che come solutore...

uffi,quest'errore lo commetto sempre ...cambia "divide" con "è divisibile per",dovrebbe funzionare...

Faccio sempre lo stesso errore anche io e quindi non lo vidi corregendo, mi scuso con gli utenti del forum che sono stati irrimediabilmente danneggiati da questa mia svista, pagherò personalmente danni fisici e morali

dev'essere l'aura della gara a squadre

Per ogni $a>b>0$ interi dispari e $m>0$ intero pari vale $\upsilon_2(a^m-b^m)=\upsilon_2(a^2-b^2)+\upsilon_2(m)-1$.

posto $a=3, b=1, m=2^n$ abbiamo direttamente la tesi.[]