La carica dei 101

[psion_metacreativo]

Premetto che il problema, almeno secondo la mia esperienza, è originale nel senso che penso di averlo inventato io. Pertanto potrebbe essere impreciso sia nella sua formulazione che nella sua risoluzione, comunque l'ho ricontrollato diverse volte e non mi sembrano presenti errori troppo evidenti. Per cui divertitevi:

Sia $ A=\left[\delta(i,j)\right]^{100}_{i,j=1}\ \ \ con\ \ \ \delta(i,j):\;\mathbb{F}_{\scriptsize101}\times\mathbb{F}_{\scriptsize101}\longmapsto\mathbb{F}_{\scriptsize101}\ \ \ \delta(i,j)=i\cdot j\ \ \ \ $ una matrice associata a un endomorfismo $ \varphi $ di uno spazio vettoriale $ V $ definito su $ \mathbb{F}_{\scriptsize101} $, un campo finito di 101 elementi. Stabilire se $ \varphi $ è un isomorfismo.

[HiTLeuLeR]

La risposta è "no", dacché la matrice $ A $ della trasformazione è singolare. Infatti, per ogni $ i = 1, 2, \ldots, p-1 $: $ \delta(i, 1) = -\delta(i, p-1) $. E allora $ A $ possiede due colonne linearmente dipendenti, perciocché $ \det(A) = 0 $.

[psion_metacreativo]

Hit però non c'è gusto se me li risolvi in 3 secondi, io invece ho proprio calcolato il determinante, cmq è semplice anche come l'ho fatto io.

[HiTLeuLeR]

Sigh sob, scusami...