Fissato un intero $ k \geq 2 $, diciamo che un certo $ n\in\mathbb{N}_0 $ è una radice $ \sigma_0 $-primitiva di ordine $ k $ sse è determinato un $ m\in\mathbb{N}_0 $ tale che $ \dfrac{\sigma_0(m^k)}{\sigma_0(m)} = n $, e inoltre non esiste una coppia $ (u,v)\in\mathbb{N}_0\times \mathbb{N}_0 $ tale che $ \dfrac{\sigma_0(u^k)}{\sigma_0(u)} = v $ ed $ n = v^p $, per qualche intero $ p \geq 2 $. Sia dunque $ r_k := |\{n\in\mathbb{N}_0: n\mbox{ è una radice } \sigma_0\mbox{-primitiva di ordine }k\}| $. Ebbene...
Problema #1: è vero che, per ogni intero $ k\geq 2 $, $ r_k < +\infty $ ?
Problema #2: si valuti il suplimite per $ k\to +\infty} $ della successione $ \{r_k\}_{k \geq 2} $.
Nota: sia $ \sigma_0(t) := \sum_{s\mid t} 1 $, la sommatoria intendendosi estesa a tutti e soli i divisori interi positivi di $ t $, per ogni $ t\in\mathbb{N}_0 $.