Somma di una serie (facilotta) e dubbi riguardo le serie

[psion_metacreativo]

Allora io ho ribadito la necessità di un'area del forum dove chiarirsi i dubbi più tecnici riguardo scuola o università ma vedo che altri postano liberamente in questa sezione di problemi le loro domande alchè ne approfitto anch'io:
come si ricava il termine generale dello sviluppo in serie di Taylor in 0 di tan(x)?e della Secante(x)?(la conosco la formula di taylor an=f(n)(0)/n! x^n, sto chiedendo esplicitamente che aspetto prende questo termine per le due funzioni di cui sopra). Poi ho visto che Mathematica fornisce lo sviluppo in serie anche di cotangente(x) e cosecante(x) esattamente che senso ha visto che in 0 le due funzioni non sono definite e cmq la serie che il programma mi sputa fuori inzia con 1/x+o(1)?

Affinchè questo topic non sia dedicato esclusivamente ai miei strippi eccovi una serie simpatica, facile ma simpatica:

Calcolare R, raggio di convergenza, e S(x) somma della serie per |x|<R, della seguente serie di potenze reali:

$ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=2}((-1)^{n}\frac{2}{n}x^{n}\sum^{n-1}_{k=1}\frac{1}{k}) $

[EvaristeG]

Se ti interessa trovare, diciamo, i primi 4 o 5 termini dello sviluppo della tangente (o cmq un numero finito e piccolo), puoi utilizzare la relazione
$ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} $
e il fatto che conosci gli sviluppi in serie di seno e coseno.
Da ciò, sfruttando il fatto che
$ 1+T+T^2+\ldots=\frac{1}{1-T} $
e ponendo $ 1-T=\cos x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} $
da cui $ T=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{(2n)!} $
e quindi puoi calcolare i primi termini (fino a $ o(x^k) $ per un qualche k)
moltiplicando le serie e fermandoti quando le potenze sono oltre k:
$ \tan x = \left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)\cdot(1 + T + T^2 + \ldots) $
Così puoi fare anche per sviluppare, ad esempio, la cosecante o la secante, sempre che la serie T che ottieni manchi del termine noto.

Se invece vuoi calcolare esplicitamente $ f^{(n)}(0) $ dove f(x)=tg(x) ... beh, qui è un po' più complicato :
$ f'(x)=\sec^2 x\\ f''(x)=2\sec^2x\tan x\\ f'''(x)=2\sec^4x+4\tan^2x\sec^2x\\ \ldots $
quindi f'(0)=1, f''(0)=0, f'''(0)=2 ... se siamo fortunati e le derivate successive sono sempre espressioni polinomiali in tg(x) e sec(x), allora mi basterà sempre sommare i coefficienti di sec(x) per ottenere il valore di quella derivata in 0.
Ora, da dove può arrivare un termine che contiene solo sec(x) ?
Deve per forza arrivare da uno che conteneva tan(x) e sec(x), poichè
$ \frac{d}{dx}\sec x =\sec x \tan x $
del resto,
$ \frac{d}{dx}\tan^n x =n\sec x \tan^{n-1} x $
quindi un termine della forma $ \sec^m x $ lo ottengo solo da termini della forma $ \sec^k x \tan x $ la cui derivata è $ k\sec^{k-1}x\tan x + \sec^{k+1}x $.
Ora, da dove ottengo termini della forma $ \sec^k x \tan x $ ? Non può arrivare da un termine in sola tangente, a meno che non sia $ \tan^2 x $, non può derivare da termini misti tangente e secante, in quanto
$ \frac{d}{dx}\tan^k x\sec ^h x=k\tan^{k-1}x\sec^{h+2}x + h\tan^{k+1}x\sec^hx $, ancora, a meno l'esponente della tangente non sia 2; può quindi derivare dai termini in sola secante.
Ancora, il termine con secante e tangente al quadrato, può derivare da ....
proseguendo con queste osservazioni, si trova un legame ricorsivo (orrendamente complicato) tra i coefficienti delle derivate che permette di ricavare (non so assolutamente come...ci ho provato ma non si scioglie, anche se mathworld da la formula finale) il termine, in funzione di n e di "numeri noti" (i numeri di Bernoulli), l'espressione cercata.

Altra strada potrebbe essere osservare che, in un intorno di 0, la tg è analitica ed è soluzione dell'eq. differenziale
$ \left\{\begin{array}{l}y'=y^2+1\\y(0)=0\end{array}\right. $
e quindi, i coefficienti dello sviluppo in serie soddisfano
$ \sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n=1+\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right)^2 $
Ora, se sai scrivere i coefficienti del quadrato di una serie sei a posto e potrai scrivere un sistema di uguaglianza tali che l'ennesima è lineare in a_n, con coefficienti gli a_i precedenti; scrivendo la ricorsione delle soluzioni del sistema, ritrovi ancora la faccenda di prima.

Oppure si potrebbe passare per l'analisi complessa, ma la cosa diventa complicata...

E proprio con l'analisi complessa bisognerebbe rispondere all'altra domanda, riguardo a cotangente e cosecante : la serie che mathematica ti restituisce è lo sviluppo in serie di Laurent della funzione complessa corrispondente attorno al punto 0 ... se vuoi, il criterio è lo stesso delle serie per i reali :
se $ \lim_{x\to 0}f(x)=\infty $, possiamo chiederci per quale n naturale, se esiste un tale, si abbia
$ \lim_{x\to 0}x^nf(x)=k_n\in\mathbb{R}\setminus\{0\} $
poi possiamo riapplicare il procedimento alla funzione $ f(x)-\frac{k_n}{x^n} $ e trovare che essa è asintotica in 0 a un certo altro 1/x^m e divisa per questo ha limite k_m ed ora considerando $ f(x)-\frac{k_n}{x^n}-\frac{k_m}{x^m} $ si riparte....
si ottiene ad ogni passo un polinomio P(1/x), ovviamente senza il termine noto, che esprime come la funzione va all'infinito in un intorno di 0.
Ovviamente nulla assicura che questo procedimento funzioni ad ogni passo o anche solo al primo passo, o che il limite di questi polinomi, la serie in (1/x), converga alla funzione in un qualche intorno di 0.
Per rispondere e questi dubbi e dare una costruzione meno artificiosa di queste serie ad esponenti negativi, si dovrebbe veramente parlare di funzioni complesse (meromorfe, per la precisione, cioè quasi ovunque regolari) e di alcune loro sorprendenti proprietà...ma è un po' troppo lungo.

[psion_metacreativo]

Veramente grazie 1000 all'infaticabile EvaristeG!!!

(P.S. La serie non era il mio scopo principale in questo topic ma già che c'è risolvetela... )

[psion_metacreativo]

ma questa serie e` solo ignorata o non e` cosi` facile come credevo?

[mattilgale]

beh
sinceramente la risolverei volentieri...
ma di serie ne so poco e cmq non so cosa intendi per R e raggio di convergenza,
che ne dici di una mini-lezione...
grazie $ 10^3 $
fin d'ora

[psion_metacreativo]

Ok, non so se sono la persona più indicata per una mini lezione, in fondo non ho mai provato, però se uno non comincia mai non imparerà mai e comunque non mi farà male (in vista di un prossimo orale di analisi I). Siccome l'argomento è un po' vasto spezzerò il tutto in due puntate, le serie e le serie di potenze. Stasera scriverò solo la prima.

Allora cominciamo con la terminologia:
Diremo che una proposizione $ P $ dipendente da un parametro intero $ n $, è vera definitivamente se valgono i seguenti fatti equivalenti:

i)esiste un numero $ n_{0} $ tale che $ P $ è vera $ \forall n>n_{0}\ ,\ n \in\mathbb{N} $
ii)l'insieme degli $ n $ che non verificano $ P $ è finito.

Il simbolo $ a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}+\cdots $ che viene scritto anche come $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} $ si dice Serie di termini $ a_{1},a_{2},a_{3},\cdots,a_{n},\cdots $.
A questo simbolo è possibile a volte associare un numero che si dirà Somma della serie.
Per associare una somma ad una serie bisogna però dimostrare che questa serie converge, cioè ammette limite finito, e diremo quindi che la somma della serie è proprio tale limite.
E' naturale associare ad ogni serie la successione $ \left\{s_{n}\right\} $ delle somme parziali tale che $ \displaystyle s_{n}:=\sum^{n}_{k=1}a_{k} $ ,e qualora fosse possibile trovare una formula esplicita per l'n-esima somma parziale passare al limite $ \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}s_{n} $. Nel caso in cui questo limite sia finito diremo che la somma dela serie è proprio quel limite, se il limite è infinito allora la serie divergerà positivamente o negativamente, se il limite non esiste la serie è indeterminata.
Si capisce intuitivamente che i casi in cui potremo disporre di una formula esplicita delle somme parziali saranno pochi e meno ancora quelli in cui calcolare tale limite sarà elementare.
Risulterà, perciò, utile disporre di tools più efficaci per studiare il comportamento di una serie. Ecco quindi che arrivano in nostro soccorso i quattro criteri di convergenza e un criterio di divergenza per le Serie a termini non negativi (questa ipotesi può sembrare restrittiva ma non lo è eccessivamente, comunque è necessaria per le dimostrazioni di quanto seguirà. Successivamente esporrò un criterio per serie che cambiano segno):

1.CRITERIO DEL CONFRONTO
Siano $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} $, $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}b_{n} $ due serie a termini non negativi e sia $ a_{n}\leq b_{n} $ vera definitivamente,
allora se la serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}b_{n} $ è convergente lo è anche la serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} $, se la serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} $ è divergente allora lo è anche la serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}b_{n} $.
In questo caso si dice la serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} $ è maggiorata o dominata dalla serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}b_{n} $.

2.CRITERIO DEL RAPPORTO (o Di D'Alambert)
Sia $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} $ una seria a termini positivi. Se $ \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1 $ allora la serie è convergente.

3.CRITERIO DELLA RADICE
Sia $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} $ una seria a termini positivi. Se $ \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}}<1 $ allora la serie è convergente.

4.CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO
Se con il criterio del confronto stabilivamo una relazione tra due serie del tipo "Una serie non va meno peggio dell'altra", con il confronto asintotico possiamo stabilire una relazione del tipo "Una serie va circa come l'altra". Sebbene possa sembrare più carino e utile del criterio del confronto non si può sostituire ad esso perchè per dimostrarlo occorre proprio il criterio del confronto e poi perchè il confronto fornisce una limitazione invece il confronto asintotico circa un'uguaglianza che non sempre è possibile trovare. Comunque diamo una definizione:
Siano $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} $, $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}b_{n} $ due serie a termini non negativi; se avviene che $ \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=1 $ allora si dirà che i termini delle due serie sono asintoticamente equivalenti e si scriverà $ a_{n} $ ~ $ b_{n} $.

Se $ a_{n} $ ~ $ b_{n} $ allora le due serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} $, $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}b_{n} $ ,sono o entrambe convergenti o entrambe divergenti.

Oltre a questi 4 criteri di convergenza si può stabilire un:

CRITERIO DI DIVERGENZA
Se una serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} $ non è infinitesima allora diverge necessarimente.

Una serie si dice infinitesima se $ \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0 $

Ok tutto quanto detto finora è estremamente utile e carino per maneggiare serie a termini non negativi. Esiste un ulteriore criterio per stabilire la convergenza di un particolare tipo di serie che cambia segno con regolarità: le serie a segno alterno.
Si dice che una serie è a segno alterno se è della forma $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}a_{n} $.

CRITERIO DI LEIBNIZ
Se la successione $ \left\{a_{n}\right\} $ è decrescente ($ a_{n+1}\leq a_{n}\ \forall n\in\mathbb{N} $) e infinitesima allora la serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}a_{n} $ è convergente.

Ok gente per stasera questo è quanto, a risentirci alla prossima puntata intanto postate pure eventuali dubbi, incertezze, richieste di chiarimenti, commenti sul mio stile e correggettemi ogni errore che involontariamente posso aver fatto.

P.S. Tutto quanto ho scritto è necessariamente privo di dettagli tecnici fondamentali quali le definizioni più pedanti come quella di convergenza, di limite di una successione,ecc., Ho dato per scontato una certa conoscenza del calcolo dei limiti infatti i criteri di convergenza sono stati scritti nella forma di limite ma ci sono sono anche altre formulazioni che potrebbero risultare più facili a chi non è familiare al calcolo dei limiti, e sopratutto non ho scritto le dimostrazioni di ogni proposizione o criterio enunciato sopra, chi volesse indagare di più prenda un qualsiasi libro di analisi I e troverà pane per i suoi denti.
P.P.S. Tutto quanto detto finora non basta a risolvere la serie da me proposta che intendeva essere rivolta a chi ha già una certa dimestichezza con il calcolo delle serie. Non è certamente facile per chi vi si accosta per le prime volte anzi la sconsiglio ai principianti perchè potrebbe scoraggiarvi eccessivamente.

[psion_metacreativo]

Potrebbe essere utile un bestiario delle serie più importanti:

1)Serie a termini di una successione aritmetica:
$ \displaystyle\begin{math}\left\{\begin{array}{l} a_{0}=\alpha\\a_{n}=a_{0}+n\beta \end{array}\end{math} $
Allora:
$ \displaystyle s_{n}=\sum^{n}_{k=1}a_{k}=n\alpha+\frac{\beta n(n+1)}{2} $
dunque indipendentemente dal termine iniziale se $ \beta>0 $ allora $ \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}s_{n}=+\infty $ e la serie diverge positivamente, altrimenti diverge negativamente.

2)Serie a termini di una successione geometrica:
$ \displaystyle\begin{math}\left\{\begin{array}{l} a_{0}=\alpha\\a_{n}=a_{0}\beta^{n},\ \beta\neq1 \end{array}\end{math} $
Allora:
$ \displaystyle s_{n}=\sum^{n}_{k=1}a_{k}=\alpha \frac{1-\beta^{n+1}}{1-\beta} $
dunque se $ \beta\leq-1 $ la serie è indeterminata, se $ \beta\geq1 $ allora $ \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}s_{n}=\infty $ e la serie diverge positivamente o negativamente a seconda del segno del primo termine, se $ |\beta|<1 $ allora $ \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}s_{n}=\frac{\alpha}{1-\beta} $.

3)Serie telescopiche:
si possono spiegare efficacemente solo con un esempio (la Serie di Mengoli):
$ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n(n+1)}=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1 $ cioè è evidente che in generale $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n}-a_{n+1}=a_{1}-\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n} $

4)Serie Armonica:
$ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n} $ diverge positivamente. Come utile esercizio iniziale provate a dimostrarvelo.

5)Serie esponenziale:
$ e=\displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{n!} $. Provate a dimostrare la convergenza anche di questa serie.

Potrebbero a buon ragione essere inserite altre serie in particolare le serie di potenze e gli sviluppi delle funzioni più importanti ma forse quelli è meglio rimandarli a dopo la puntata sulle serie di potenze.

[BlaisorBlade]

Poi ho visto che Mathematica fornisce lo sviluppo in serie anche di cotangente(x) e cosecante(x) esattamente che senso ha visto che in 0 le due funzioni non sono definite e cmq la serie che il programma mi sputa fuori inzia con 1/x+o(1)?

Beh, in maniera meno teorica (dato che non ho le conoscenza per farlo), neanche 1/x è definita in x=0; e poi $ \cot x = {1 \over \tan x} = {1 \over x } \cdot {\tan x \over x} $, e il secondo termine del prodotto è asintotico a 1, quindi mi sembra del tutto ragionevole un tale sviluppo...

$ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=2}((-1)^{n}\frac{2}{n}x^{n}\sum^{n-1}_{k=1}\frac{1}{k}) $

Innanzitutto, ricordando la dimostrazione della divergenza della serie armonica (quella che raggruppa i termini per ottenere come minorante $ {1 \over 2} + {1 \over 2} + {1 \over 2} + \dots $, si ha che $ $ \frac{ 2 + \log_2(2n-4)}{2} = \frac{ 2 + 1 + \log_2(n-2)}{2} > \sum^{n-1}_{k=1}\frac{1}{k} > \frac{\log_2 (n-1) + 2}{2} $ $. Ricordo anche che c'è una formula un po' più decente, dimostrata in maniera diversa, ma che ora non ricordo, per la somma di $ \sum_{i=1}^n \frac{1} {n+ i} $, comunque simile.

Da questa formula, possiamo maggiorare la serie con l'altra serie:

$ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=2}\left(\left(-1\right)^{n}\frac{2}{n}x^{n}\frac{3 + \log(n-2)}{2}\right) = \sum^{\infty}_{n=2}\left(\left(-1\right)^{n}\frac{3 + \log(n-2)}{n}x^{n}\right) $

Usiamo il criterio del rapporto, si ha che $ \frac{a_n+1}{a_n} $ tende a x (col linguaggio delle serie numeriche), quindi il raggio di convergenza è 1.

Per la somma, poi se ne parla.... lo so che ho infinite derivate della funzione (dato che è una serie di Taylor) ma non sembrano promettenti...

[HiTLeuLeR]

Calcolare R, raggio di convergenza, e S(x) somma della serie per |x|<R, della seguente serie di potenze reali:

$ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=2}((-1)^{n}\frac{2}{n}x^{n}\sum^{n-1}_{k=1}\frac{1}{k}) $

Siano $ \displaystyle s_n := \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $ ed $ \displaystyle a_n := (-1)^{n}\frac{2}{n}\cdot \sum^{n-1}_{k=1}\frac{1}{k} = (-1)^{n}\frac{2s_{n-1}}{n} $, per ogni intero $ n \geq 2 $. E allora $ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = $ $ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{ns_n}{(n+1)s_{n-1}} $ $ \displaystyle = \lim_{n \to +\infty} \frac{s_{n-1} + 1/n}{s_{n-1}} = 1} $, pur di considerare che $ s_n \to +\infty $, se $ n \to +\infty $. Tanto è sufficiente per concludere (come conseguenza del criterio del rapporto) che la serie di potenze $ \displaystyle \sum^{\infty}_{n=2}\!\left((-1)^{n}\frac{2}{n}x^{n}\sum^{n-1}_{k=1}\frac{1}{k}\!\right) $ ha raggio di convergenza $ R = 1 $. In quanto alla somma della serie, al momento non mi viene nulla in mente!

[psion_metacreativo]

Ok a BlaisorBlade e Hit che hanno calcolato correttamente in due modi diversi il raggio di convergenza della serie data. Per quanto riguarda la somma della serie non credevo fosse così difficile da arrivare a sconvolgere uno dei miei miti personali. Comunque tra un po' posto un hint chiarificatore.

[info]

Per la serie armonica al momento mi viene in mente ciò. Nei ritagli di tempo (studio per la matura al momento!) magari penso a trovare la sol di BlaisorBlade.

H(n)=1+1/2+1/3+1/4+...

H(n)>=n* rad_n [1/(n!)]---(AM-GM)

Se lim[n->inf] n^n/(n!) =inf siamo a posto per quanto detto da psion sul confronto.

ammettiamo per assurdo:

lim[n->inf] n^n/(n!) = L con L diverso da inf

se n=L la funzione assume il valore

[L*L*L*...*L (L volte)]/[1*2*3*...L]>L

in quanto prodotto di L per numerosi fattori maggiori di 1. Assurdo... L è quindi infinito...

-------------------

per la serie esponenziale, forse basta applicare il criterio del rapporto...

[HumanTorch]

)$ e=\displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{n!} $. Provate a dimostrare la convergenza anche di questa serie.

La serie $ \sum^{\infty}_{n=0}=\frac{1}{2^n} $ è convergente in $ 2 $. Quindi, dato che la funzione $ n! $ cresce più rapidamente di $ 2^n $, le rispettive funzioni inverse cresceranno contrariamente, ovvero $ \frac{1}{2^n} $ cresce più velocemente rispetto a $ \frac{1}{n!} $; da ciò, essendo la prima serie convergente, lo sarà anche la seconda.

[psion_metacreativo]

Per la serie armonica al momento mi viene in mente ciò. Nei ritagli di tempo (studio per la matura al momento!) magari penso a trovare la sol di BlaisorBlade.

H(n)=1+1/2+1/3+1/4+...

H(n)>=n* rad_n [1/(n!)]---(AM-GM)

ok fino a qui, perchè ora vuoi calcolare

lim[n->inf] n^n/(n!)

anzichè il limite della radice n-esima del termine entro il tuo limite, che sarebbe la vera forma del termine con cui stai confrontando la serie armonica?

se n=L la funzione assume il valore

L*L*L*...*L (L volte)]/[1*2*3*...L]>L...

Chi ti dice che L nel caso in cui sia finito debba essere intero cosicchè tu lo possa usare come entrata per il fattoriale?

per la serie esponenziale, forse basta applicare il criterio del rapporto...

Si confermo, in effetti è semplicemente un primo esrcizio, oppure si può notare che la serie esponenziale è dominata per esempio dalla serie geometrica di ragione 1/2, come prontamente notato da HumanTorch che mi ha anticipato.

[info]

Cazzate...errore di segno...se trovo un raccoglimento simile che funzia lo posto...

[HumanTorch]

$ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n} $ diverge positivamente. Come utile esercizio iniziale provate a dimostrarvelo.

Allora, anche in questo caso consideriamo un'altra serie:$ a_1=a_2=a_3=--=a_{10}=\frac{1}{10n} $ che procede analogamente $ a_{10(n-1)+1}=a_{10(n-1)+2}=a_{10(n-1)+3}=--a_{10n}=\frac{1}{10n} $, che all'infinito darà la serie armonica che cerchiamo, pertanto le due serie avranno lo stesso limite. Ma ogni termine della prima serie sarà minore (o uguale) al corrispondente termine della seconda. Quindi per assurdo la serie tende a $ \infty $