Tre problemini tre

[karl]

Si tratta di tre quesiti sufficientemente accessibili per chi vuole
far un po' di pratica (sperando che non siano gia'stati proposti).

1)Sia M un punto del segmento AB e AMCD,MBEH i quadrati costruiti
su AM ed MB e situati dalla stessa parte rispetto ad AB.
Le circonferenze circoscritte a tali quadrati s'intersechino in N
(oltre che in M) ;dimostrare che:
a)I punti B,C,N sono collineari
b)H e' l'ortocentro del triangolo ABC.

2)Sui lati AB,BC,CA del triangolo ABC si prendano i punti D,E,F
tali che DE=BE,EF=EC.
Dimostrare che il circocentro O del triangolo ADF e' sulla
bisettrice dell'angolo DEF.

3)Dimostrare che se nel triangolo ABC sinA,sinB,sinC sono
razionali lo sono pure cosA,cosB,cosC .

[Sisifo]

1)
a)Supponiamo N appartenente allo stesso semipiano di A rispetto alla retta MC (altrimenti la tesi è palesemente falsa)
L'angolo $ \angle MNC $ è uguale all'angolo $ \angle CAM $ perchè entrambi angoli alla circonferenza che insistono sull'arco CM con i vertici appartenenti allo stesso arco. Ma $ \angle CAM= \pi/4 $. Con lo stesso ragionamento si può concludere che $ \angle BNM = \angle BHM = \pi/4 $. Perciò B e C appartengono alla stessa semiretta uscente da N, e precisamente quella che forma con il segmento NM un angolo di $ \pi/4 $ (l'unicità è garantita dall'appartenenza di B e C allo stesso semipiano rispetto a MN, conseguenza della premessa). Quindi, B, C, N sono allineati.
b)Notiamo che H appartiene alla retta CM, che è l'altezza relativa a AB. Inoltre BH è perpendicolare al lato AC perchè $ \angle HBA = \pi/4; \angle CAB = \pi/4 $. Quindi H è l'intersezione di due altezze e, perciò l'ortocentro di ABC.

[Boll]

2)Sui lati AB,BC,CA del triangolo ABC si prendano i punti D,E,F
tali che DE=BE,EF=EC.
Dimostrare che il circocentro O del triangolo ADF e' sulla
bisettrice dell'angolo DEF.

Chiamiamo $ \angle ACB=\gamma $ $ \angle ABC=\beta $
E' immediato che
$ \angle BED=180-2\beta $
$ \angle CFE=180-2\gamma $
$ \angle FED=2\gamma+2\beta-180 $
ma anche che
$ \angle FAD= 180-(\gamma+\beta) $
$ \angle FOD= 360-2(\gamma+\beta) $ (proprietà angli centro-circonferenza insistenti su stessa corda)
ma allora
$ ODFE $ è ciclico e tracciando $ OE $ avremo che, poichè $ OF=OD $ (raggi della stessa circonferenza) anche $ \angle FEO=\angle DEO $
il chè conclude la dimostrazione

[elianto84]

3)
Dal teorema del seno segue che a,b,c sono "multipli razionali" di R
poi utilizziamo Carnot cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc), l'R^2 si semplifica
e i coseni risultano anch'essi razionali.

[NicolasBourbaki]

Mi viene da rilanciare il problema 3 con la seguente bonus question:
-è vero il viceversa?
(se la risposta fosse NO riuscite a trovare un controesempio?)

[HumanTorch]

Mi viene da rilanciare il problema 3 con la seguente bonus question:
-è vero il viceversa?
(se la risposta fosse NO riuscite a trovare un controesempio?)

Il triangolo equilatero: $ cos\alpha=cos\beta=cos\delta=\frac{1}{2}\in \mathbb{Q} $ mentre $ sin\alpha=sin\beta=sin\delta=\sqrt{1-cos\alpha^2} $ e visto che in nessona terna pitagoria un elemento è il doppio dell'altro $ sin\alpha\in {\mathbb{R}/\mathbb{Q}} $

[NicolasBourbaki]

Ovviamente OK..in effetti non è difficile produrre controesempi a iosa..

[Pigkappa]

1)
a)Supponiamo N appartenente allo stesso semipiano di A rispetto alla retta MC (altrimenti la tesi è palesemente falsa)

Come mai? A me sembra di averlo dimostrato proprio nel caso in cui N è nel semipiano opposto o_o...