Per Cauchy-SchwarzHiTLeuLeR ha scritto:Problema #1: siano $ n $ un intero $ \geq 2 $ ed $ x_1, x_2, \ldots, x_n\in\mathbb{R}^+ $. Provare che $ \dfrac{x_1^2}{x_2^2} + \dfrac{x_2^2}{x_3^2} + \ldots + \dfrac{x_n^2}{x_1^2} \geq $ $ \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_3} +\ldots + \dfrac{x_n}{x_1} $, e stabilire in quali casi sussiste l'uguaglianza.
Essì, su questo punto mi ritrovo, sì... Del resto, basta giusto invocare la disuguaglianza QM-AM, tenendo conto del fatto che - per ipotesi - la media aritmetica di $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ è fissata.HumanTorch ha scritto:[...] dati $ n $ numeri la cui media è data, il valore minimo per $ \sum^n_{i=1} a_i^2 $ è dato quando $ a_i=a_j $ per ogni $ i,j $ distinti.
HumanTorch, in questo modo dimostri soltanto che le espressioni $ E_1(x_1, \ldots, x_n) := \dfrac{x_1^2}{x_2^2} + \ldots + \dfrac{x_n^2}{x_1^2} $ ed $ E_2(x_1, \ldots, x_n) := \dfrac{x_1^2}{x_2^2} + \ldots + \dfrac{x_n^2}{x_1^2} \leq n $ raggiungono entrambe il proprio minimo se $ x_1 = x_2 = \ldots = x_n $, supposte le variabli reali e positive. Ma d'altro canto questo non implica affatto che, in generale, sia $ E_1(x_1, \ldots, x_n) \geq E_2(x_1, \ldots, x_n) $, se $ x_1, x_2, \ldots, x_n\in\mathbb{R}^+ $. Una tal conclusione sarebbe valsa, casomai, se il minimo dell'una espressione fosse coinciso con il massimo dell'altra! Ma siccome non è questo il caso...HumanTorch ha scritto:Quindi consideriamo il peggiore dei casi, ovvero quello appena esposto. Ma la disuguaglianza fra tutti i termini si ottiene solo quando $ x_i=x_j $, con $ i,j $ naturali distinti (il rapporto deve essere sempre $ 1 $ altrimenti non c'è coincidenza con le altre frazioni); ma in tale caso si ha l'uguaglianza ($ n=n $); quindi per tutti i restanti casi si ha la tesi dimostrata.
ehm... boll, stai cominciando a degenerare, come cinesi e vietnamiti... quella che hai scritto è cauchy-schwartz, effettivamente, però potevi molto più semplicemente chiamarla QM-AM! e che cavolo!Boll ha scritto:Per Cauchy-Schwarz
$ (1+1+...+1)\left(\dfrac{x_1^2}{x_2^2} + \dfrac{x_2^2}{x_3^2} + \ldots + \dfrac{x_n^2}{x_1^2}\right)\ge \left(\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_3} +\ldots + \dfrac{x_n}{x_1}\right)^2 $
No, il bunching non vale ciclicamente, o almeno, se vale, non si chiama bunching, il bunching vale per le sole somme simmetricheenomis_costa88 ha scritto:Premetto che questa è una delle prime disequazioni su cui mi cimento..quindi nel caso probabilissimo in cui abbia sbagliato qualcosa vi prego di non aggredirmi ma di correggermi..grazie.
Pulendo i denominatori risulta:
$ \sum x_1^4*x_3^2*\dots*x_n^2 \ge \sum x_1^3*x_2*x_3^2*\dots*x_n^2 $
che dovrebbe essere vera per il bunching.
Ps si può applicare cosi(nel senso che è una sommatoria ciclica non simmetrica)???
Pps se qualcuno avesse qualche semplice disequazione da postare in modo tale da poter essere iniziato alla loro risoluzione..ne sarei molto grato.
Buona giornata Simone
ghghgh, vabbè, me ne sono accorto dopo che era QM-AM, quando ci sono quadrati in giro, per me è sempre Cauchyma_go ha scritto:ehm... boll, stai cominciando a degenerare, come cinesi e vietnamiti... quella che hai scritto è cauchy-schwartz, effettivamente, però potevi molto più semplicemente chiamarla QM-AM! e che cavolo!Boll ha scritto:Per Cauchy-Schwarz
$ (1+1+...+1)\left(\dfrac{x_1^2}{x_2^2} + \dfrac{x_2^2}{x_3^2} + \ldots + \dfrac{x_n^2}{x_1^2}\right)\ge \left(\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_3} +\ldots + \dfrac{x_n}{x_1}\right)^2 $
altrimenti, tanto vale dire che $ (x+y)^2 \le 2(x^2 + y^2) $ per jensen!
