Interi consecutivi

[mark86]

Provare che il prodotto di quattro interi positivi consecutivi non è mai un
quadrato perfetto e che aggiungendo al prodotto trovato 1 si ottiene sempre
un quadrato perfetto.

[Franchifis]

Per la seconda proposizione basta notare che $ n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n+1)^2 $.
Poi questa implica la prima perche' il precedente di un quadrato perfetto non può essere anch'esso un quadrato.

[hydro]

mi sembra che fosse già stato proposto da qualche parte, comunque

$ \displaystyle n{(n+1)}{(n+2)}{(n+3)}={({n}^{2}+3n+2)}{({n}^{2}+3n)}={({n}^{2}+3n+1)}^{2}{-1} $

da cui la tesi si nota facilmente

[hydro]

oooops scusa Franchifis nn avevo visto il tuo post!

[mark86]

Franchifis ha scritto:

Poi questa implica la prima perche' il precedente di un quadrato perfetto non può essere anch'esso un quadrato.

Come si fa a giustificare questa proposizione anche se pare evidente la sua correttezza?

[mark86]

Per completezza ho verificato la proposizione

Il precedente di un quadrato perfetto non può essere anch'esso un quadrato.

Infatti sia $ n^2 $ il quadrato di un numero e sia $ (n+1)^2 $ il più piccolo dei quadrati maggiori di $ n^2 $, la differenza fra due quadrati successivi è pertanto $ (n+1)^2-n^2=2n+1 $. Si vede subito che tale differenza non è mai uguale a 1 per nessun $ n\in N $

[Marco]

Franchifis e Mark86, siete entrambi fuori strada!! Una ha enunciato e l'altro ha allegramente dimostrato una proposizione FALSA!!

Il precedente di un quadrato perfetto può essere tranquillamente un quadrato perfetto (ad esempio, il precedente di 1 è 0). Se non fate entrare l'ipotesi che n debba essere positivo, l'enunciato del problema diventa falso (prendete n=-2, per esempio...).

[mark86]

Ci muovevamo nell'insieme degli interi positivi... lo dice il testo del problema, cmq specificare non guasta mai!!!!!