primo esprimibile come differenza di quadrati

[hexen]

dimostrare che ogni numero primo diverso da 2 è esprimibile mediante differenza di quadrati di interi, se p è il primo e a>b gli interi quindi è

$ p = a^2-b^2 $

ma $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $

viene fuori che un primo sarebbe fattorizzabile quindi la tesi è falsa

è giusto?

[thematrix]

uhm,non ho capito bene...però se $ a-b = 1 $il numero può benissimo essere primo

[moebius]

Se poi ci aggiungi che tutti i primi maggiori di 2 sono dispari direi che la tesi è vera

[hexen]

Se poi ci aggiungi che tutti i primi maggiori di 2 sono dispari direi che la tesi è vera

non capisco, a che serve essere dispari?

[moebius]

Se n è dispari a=(n+1)/2 b=(n-1)/2 sono interi e sono la decomposizione cercata...

[HiTLeuLeR]

dimostrare che ogni numero primo diverso da 2 è esprimibile mediante differenza di quadrati di interi.

Sia $ p $ un numero primo naturale. Se $ a, b \in\mathbb{Z} $ e $ p = a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, allora necessariamente $ |a-b|=1 $ oppure $ |a+b|=1 $. In particolare, cerchiamo allora $ a, b \in\mathbb{Z} $ tali che $ a-b = 1 $. Ne viene $ p = 2b+1 $, e dunque $ b = (p-1)/2 $ ed $ a = (p+1)/2 $, il che è consistente sse $ p $ è dispari, poiché altrimenti $ a, b\not\in \mathbb{Z} $.