Infiniti composti della forma (p_1 p_2 ... p_n)^k \pm 1

[HiTLeuLeR]

Problema: essendo $ \{p_n\}_{n\in\mathbb{N}_0} $ la successione ordinatamente crescente di tutti e soli i numeri primi di $ \mathbb{N} $, poniamo $ P_n := p_1\;\! p_2 \ldots p_n $, se $ n \in \mathbb{N}_0 $. Si provi che, comunque scelto $ k\in\mathbb{N}_0 $, esistono infiniti $ n\in\mathbb{N}_0 $ tali che i) $ P_n^k + 1 $ sia composto; ii) $ P_n^k - 1 $ sia composto; iii) $ P_n^k \pm 1 $ siano entrambi composti.

Ovviamente iii) ==> i) & ii), ma vabbè... Fate vobis!!!