Questo risponde in parte alla domanda di moebius (click!) sulle possibili distribuzioni dei residui/non residui quadratici modulo un numero primo naturale $ p $ fra gli elementi dell'insieme $ \{1, 2, \ldots, p-1\} $.Esistono infinite radici primitive mod p maggiori di M
Esistono infinite radici primitive mod p maggiori di M
Problema: mostrare che, per ogni intero $ M > 0 $, esistono infiniti primi naturali $ p $ tali che la più piccola radice primitiva $ \bmod p $ sia $ > M $.
Questo risponde in parte alla domanda di moebius (click!) sulle possibili distribuzioni dei residui/non residui quadratici modulo un numero primo naturale $ p $ fra gli elementi dell'insieme $ \{1, 2, \ldots, p-1\} $.
Questo risponde in parte alla domanda di moebius (click!) sulle possibili distribuzioni dei residui/non residui quadratici modulo un numero primo naturale $ p $ fra gli elementi dell'insieme $ \{1, 2, \ldots, p-1\} $.
Come mostrato qui esistono infiniti primi naturali $ p $ tali che, per ogni $ n \in \mathbb{N}_0 $ fissato, vale $ n \mid p-1 $.
Adesso siano $ p_1<p_2<\ldots<p_k $ tutti e soli i primi dispari minori o uguali a $ M $, e definito $ \displaystyle h_M:=8\prod_{i=1}^k{p_i} $ è sufficiente scegliere i primi $ q $ tali che $ h_M \mid q-1 $; infatti per ogni intero positivo $ x \le M $ si avrà $ x=2^{a_0}\prod_{i=1}^k{p_i^{a_i}} $ per alcuni interi non negativi $ a_0,a_1,\ldots,a_k $, e per la moltiplicatività di legendre vale $ (\frac{x}{p})=(\frac{2}{p})^{a_0}\cdot \prod_{i=1}^k{(\frac{p_i}{q})^{a_i} $. Ma per quanto detto esiste $ w \in \mathbb{N}_0 $ t.c. $ q=wh_M+1 $, per cui $ (\frac{2}{q})=1 $ e $ \displaystyle (\frac{p_i}{q})=(\frac{wh_M+1}{p_i})(-1)^{\frac{wh_M}{2} \cdot \frac{p_i-1}{2}}=(\frac{1}{p_i})=1 $ per la legge di reciprocità quadratica. Ciò significa che $ (\frac{x}{p})=1 $ per ogni $ 1 \le x \le M $, che equivale a quanto volevamo dimostrare.
Adesso siano $ p_1<p_2<\ldots<p_k $ tutti e soli i primi dispari minori o uguali a $ M $, e definito $ \displaystyle h_M:=8\prod_{i=1}^k{p_i} $ è sufficiente scegliere i primi $ q $ tali che $ h_M \mid q-1 $; infatti per ogni intero positivo $ x \le M $ si avrà $ x=2^{a_0}\prod_{i=1}^k{p_i^{a_i}} $ per alcuni interi non negativi $ a_0,a_1,\ldots,a_k $, e per la moltiplicatività di legendre vale $ (\frac{x}{p})=(\frac{2}{p})^{a_0}\cdot \prod_{i=1}^k{(\frac{p_i}{q})^{a_i} $. Ma per quanto detto esiste $ w \in \mathbb{N}_0 $ t.c. $ q=wh_M+1 $, per cui $ (\frac{2}{q})=1 $ e $ \displaystyle (\frac{p_i}{q})=(\frac{wh_M+1}{p_i})(-1)^{\frac{wh_M}{2} \cdot \frac{p_i-1}{2}}=(\frac{1}{p_i})=1 $ per la legge di reciprocità quadratica. Ciò significa che $ (\frac{x}{p})=1 $ per ogni $ 1 \le x \le M $, che equivale a quanto volevamo dimostrare.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
