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Problema: mostrare che, per ogni intero $ M > 0 $, esistono infiniti primi naturali $ p $ tali che la più piccola radice primitiva $ \bmod p $ sia $ > M $.

Questo risponde in parte alla domanda di moebius (click!) sulle possibili distribuzioni dei residui/non residui quadratici modulo un numero primo naturale $ p $ fra gli elementi dell'insieme $ \{1, 2, \ldots, p-1\} $.

Come mostrato qui esistono infiniti primi naturali $ p $ tali che, per ogni $ n \in \mathbb{N}_0 $ fissato, vale $ n \mid p-1 $.

Adesso siano $ p_1<p_2<\ldots<p_k $ tutti e soli i primi dispari minori o uguali a $ M $, e definito $ \displaystyle h_M:=8\prod_{i=1}^k{p_i} $ è sufficiente scegliere i primi $ q $ tali che $ h_M \mid q-1 $; infatti per ogni intero positivo $ x \le M $ si avrà $ x=2^{a_0}\prod_{i=1}^k{p_i^{a_i}} $ per alcuni interi non negativi $ a_0,a_1,\ldots,a_k $, e per la moltiplicatività di legendre vale $ (\frac{x}{p})=(\frac{2}{p})^{a_0}\cdot \prod_{i=1}^k{(\frac{p_i}{q})^{a_i} $. Ma per quanto detto esiste $ w \in \mathbb{N}_0 $ t.c. $ q=wh_M+1 $, per cui $ (\frac{2}{q})=1 $ e $ \displaystyle (\frac{p_i}{q})=(\frac{wh_M+1}{p_i})(-1)^{\frac{wh_M}{2} \cdot \frac{p_i-1}{2}}=(\frac{1}{p_i})=1 $ per la legge di reciprocità quadratica. Ciò significa che $ (\frac{x}{p})=1 $ per ogni $ 1 \le x \le M $, che equivale a quanto volevamo dimostrare.

jordan, mi fa un po impressione il fatto che tu alle 4 di mattina ti metti a rispolverare piu e piu threads del 2005

Se ti viene al volo un problema del genere, dopo averci già pensato molte altre volte, che fai, non lo scrivi?

anch'io lo scriverei di sicuro!! quello che mi impressiona e che ci sia qualcuno con una fame di problemi cosi grande da mettersi a risolverli alle 4 di mattina

Ehmm, l'orologio segnava le 5.47 am.. (e andava bene )