Quando a^2 possiede unicamente cifre dispari...
Quando a^2 possiede unicamente cifre dispari...
Problema: determinare tutti gli interi $ a \neq 0 $ tali che $ a^2 $ contiene unicamente cifre dispari nella propria rappresentazione decimale (si trascurino al solito gli zeri posti a sinistra della cifra più significativa).
Lemma: Il quadrato di un qualunque intero dispari presenta, nella sua scrittura decimale, una cifra pari al secondo posto da destra.
Sia $ n $ intero dispari, tale che la sua scrittura decimale sia $ a_ka_{k-1}...a_1a_0 $.
Per calcolare la seconda cifra da destra quando si eleva n al quadrato, e' sufficiente considerare le ultime due cifre di $ n $ ed farne il quadrato.
Quindi $ n^2 = (10a_1+a_0)^2 \equiv 20a_1a_0 + a_0^2 (mod 100) $.
Ora si osserva che $ 20a_1a_0 $ ha sempre la seconda cifra da destra pari. Quindi $ n^2 $ puo' averla dispari solo se $ a_0^2 $ l'ha dispari.
Ma, visto che n e' dispari, $ a_0^2 $ puo' avere come seconda cifra da destra solo 2;4;8 (rispettivamente se e' uguale a 5;7;9). Quindi $ n^2 $ ha la seconda cifra da destra pari.
Tornando al problema di Hit, e' necessario di certo escludere tutti gli interi pari. Dei dispari ho dimostrato che se hanno piu' di una cifra quando sono elevati al quadrato hanno almeno una cifra pari. In definitiva la condizione del problema e' rispettata solo dagli interi dispari che hanno una sola cifra quando sono elevati al quadrato, cioe' $ -3;-1;+1;+3 $.
Sia $ n $ intero dispari, tale che la sua scrittura decimale sia $ a_ka_{k-1}...a_1a_0 $.
Per calcolare la seconda cifra da destra quando si eleva n al quadrato, e' sufficiente considerare le ultime due cifre di $ n $ ed farne il quadrato.
Quindi $ n^2 = (10a_1+a_0)^2 \equiv 20a_1a_0 + a_0^2 (mod 100) $.
Ora si osserva che $ 20a_1a_0 $ ha sempre la seconda cifra da destra pari. Quindi $ n^2 $ puo' averla dispari solo se $ a_0^2 $ l'ha dispari.
Ma, visto che n e' dispari, $ a_0^2 $ puo' avere come seconda cifra da destra solo 2;4;8 (rispettivamente se e' uguale a 5;7;9). Quindi $ n^2 $ ha la seconda cifra da destra pari.
Tornando al problema di Hit, e' necessario di certo escludere tutti gli interi pari. Dei dispari ho dimostrato che se hanno piu' di una cifra quando sono elevati al quadrato hanno almeno una cifra pari. In definitiva la condizione del problema e' rispettata solo dagli interi dispari che hanno una sola cifra quando sono elevati al quadrato, cioe' $ -3;-1;+1;+3 $.
Grande, Loth, abbiamo avuto esattamente la stessa idea. Sono contento, oooh...Loth ha scritto:Lemma: Il quadrato di un qualunque intero dispari presenta, nella sua scrittura decimale, una cifra pari al secondo posto da destra.
Suppongo che il segno di uguale qui sopra sia piuttosto un simbolo di congruenza, vero? O forse hai assunto $ k=1 $, sulla base della tua osservazione preliminare (quotata in rosso)? Avresti ragione in entrambi i casi, ben inteso: solo che personalmente ritengo che la tua osservazione (molto qualitativa, per quanto corretta) si possa del tutto bypassare operando integralmente $ \bmod 10^2 $, vitando così lo storcinaso dei più leziosi...Loth ha scritto:Per calcolare la seconda cifra da destra quando si eleva n al quadrato, e' sufficiente considerare le ultime due cifre di $ n $ ed farne il quadrato. Quindi $ n^2 = (10a_1+a_0)^2 \equiv 20a_1a_0 + a_0^2 (mod 100) $.
Poi fa' tu! 
Loth ha scritto:In definitiva la condizione del problema e' rispettata solo dagli interi dispari che hanno una sola cifra quando sono elevati al quadrato, cioe' $ -3;-1;+1;+3 $.
Essì, non hai dimenticato i negativi, BRAVO. Ero certo che l'eventuale solutore se li sarebbe scordati allegramente, ma invece... Suppongo siano queste sviste da nulla a far perdere punticini importanti durante le gare!
La fonte!
Giusto per la cronaca, e per soddisfazione personale di Loth, dico che il problema è un Komal 2004. Certo non uno dei più difficili, ma vabbè... Quel che conta sono le idee, forse n'è vero? Ancora bravo, Loth!HiTLeuLeR ha scritto:Problema: determinare tutti gli interi $ a \neq 0 $ tali che $ a^2 $ contiene unicamente cifre dispari nella propria rappresentazione decimale (si trascurino al solito gli zeri posti a sinistra della cifra più significativa).