Dimostrare che $ \displaystyle\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\geq\frac{1}{2} $ per $ \displaystyle a, b, c, d $ reali positivi tali che $ \displaystyle a+b+c+d=1 $. Inoltre dimostrare che si ha l'uguaglianza se e solo se $ \displaystyle a=b=c=d $.
Bye,
#Poliwhirl#
Irish Disuguaglianza 1999
La dimostrazione e' immediata se si usa Cauchy (sempre lui ! ) nella forma:
$ \displaystyle \sum \frac{a_i^2}{b_i} \geq \frac {(\sum a_i)^2}{\sum b_i} $
Per la seconda parte cominciamo con l'osservare che se e' a=b=c=d=1/4
vale l'eguaglianza.Viceversa dimostriamo che se vale l'uguale allora
deve essere a=b=c=d.Bastera' provare che non puo' risultare
a<>b=c=d;in tal caso infatti si ha a=1-3b con 0<b<1/3.La relazione
diventa allora:
$ \displaystyle \frac{(1-3b)^2}{1-2b}+\frac{b}{2}+ \frac{b}{2}+ \frac{b^2}{1-2b}=\frac{1}{2} $
E riducendo a forma intera:
$ 16b^2-8b+1=0 $ , da cui si ricava b=1/4.
Ma se b=c=d=1/4 e' pure a=1/4=b contro l'ipotesi e dunque se vale
l'eguaglianza e' pure a=b=c=d.
$ \displaystyle \sum \frac{a_i^2}{b_i} \geq \frac {(\sum a_i)^2}{\sum b_i} $
Per la seconda parte cominciamo con l'osservare che se e' a=b=c=d=1/4
vale l'eguaglianza.Viceversa dimostriamo che se vale l'uguale allora
deve essere a=b=c=d.Bastera' provare che non puo' risultare
a<>b=c=d;in tal caso infatti si ha a=1-3b con 0<b<1/3.La relazione
diventa allora:
$ \displaystyle \frac{(1-3b)^2}{1-2b}+\frac{b}{2}+ \frac{b}{2}+ \frac{b^2}{1-2b}=\frac{1}{2} $
E riducendo a forma intera:
$ 16b^2-8b+1=0 $ , da cui si ricava b=1/4.
Ma se b=c=d=1/4 e' pure a=1/4=b contro l'ipotesi e dunque se vale
l'eguaglianza e' pure a=b=c=d.