TdN: i numeri di Carmichael e la somma di una serie

[HiTLeuLeR]

Sempre Northwood! Il nostro amico sembra sfornare una "congettura" al secondo, come lui ama chiamarle... E alcune sono davvero interessanti, e soprattutto dimostrabili per via elementare. Eccone un'altra, che ho appena finito di provare! E' analoga a quella discussa qui, ma mi sento di dire che averne ragione, in questo caso, è impresa decisamente più ardua...

Problema: siano $ f: \mathbb{N} \mapsto \{0, 1\} $ la funzione indicatrice dei numeri di Carmichael e $ b $ un qualunque intero $ > 1 $. Dopo averne dimostrato la convergenza (so trivial!), stabilire se la serie $ \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f(n)}{b^n} $ si somma o meno a un numero razionale.

[HiTLeuLeR]

Adesso che HumanT ha buttato giù l'altro problema (click!), beh... nel risolvere quest'altro dovreste essere tutti decisamente più agevolati, non vi pare? Su, mi aspetto almeno un paio di interventi da parte dei nostri mirabili scoliasti...

[Simo_the_wolf]

Seguendo la stessa traccia di Human_torch sbroglierei anche questo. In sostanza si tratta di dimostrare che per ogni k esistono almeno k numeri consecutivi tali che nessuno di essi sia un numero di Carmicheal.

Avvaliamoci allora del seguente lemma:

Sia $ \displaystyle n=\prod_{k=1}^s p_k^{\alpha_k} $ un numero di Carmicheal. Allora $ \alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_s=1 $.

Dimostrazione.
Sia $ p_k $ un generico primo che divide$ n $. Diciamo che $ g $ è un generatore modulo $ p_k^{\alpha_k} $. Prendiamo il numero $ m $ tale che $ m \equiv 1 \pmod{p_i^{\alpha_i}} $ $ \forall i \in \{1,2,...,s\}-\{k\} $ e tale che $ m \equiv g \pmod{p_k^{\alpha_k}} $.
Questo numero ovviamente è tale che $ (n,m)=1 $ e quindi è tale che $ m^{n-1} \equiv 1 \pmod{n} $ e in particolare:
$ m^{n-1} \equiv g^{n-1} \equiv 1 \pmod {p_k^{\alpha_k}} $
Ma, essendo g un generatore modulo $ p_k^{\alpha_k} $ allora dovrà essere per forza $ n-1 \equiv 0 \pmod{\phi(p_k^{\alpha_k})} $ e quindi:
$ n-1 \equiv 0 \pmod{(p-1)(p_k^{\alpha_k-1})} $ e quindi:
$ n-1 \equiv 0 \pmod{p-1} $
$ n-1 \equiv 0 \pmod{p_k^{\alpha_k-1}} $
Ma essendo che $ p_k^{\alpha_k-1}|n $ dovrà essere
$ 1 \equiv 0 \pmod{p_k^{\alpha_k-1}} $ e quindi
$ \alpha_k=1 $.

Ora, tornando al problema principale, ci basta prendere un intero t tale che:
$ t \equiv 0 \pmod{q_1^2} $
$ t+1 \equiv 0 \pmod{q_2^2} $
$ t+2 \equiv 0 \pmod{q_3^2} $
...
$ t+n-1 \equiv 0 \pmod{q_n^2} $
dove $ q_1, q_2,...,q_n $ sono dei primi distinti e abbiamo trovato n interi consecutivi t, t+1,... t+n-1 tali che nessuno di essi è un numero di Carmicheal in quanto ognuno di essi è diviso da almeno il quadrato di un primo.

[HiTLeuLeR]

Ok, esattamente la mia stessa idea, Simo. Il resto della soluzione procede come nel caso dell'analogo esercizio affrontato e risolto da HumanT. Ben fatto, Wolfolo.