Trovare tutte terne $ \displaystyle (x,y,z) $ che soddisfano il sistema di equazioni:
$ \displaystyle x^2+y^2+z^2=9 $
$ \displaystyle x^4+y^4+z^4=33 $
$ \displaystyle xyz=-4 $
Bye,
#Poliwhirl#
Irish Diofantea xyz
Irish Diofantea xyz
Ultima modifica di Poliwhirl il 16 ago 2005, 20:40, modificato 1 volta in totale.
Poiché dev'essere $ xyz = -4 $, necessariamente $ \min(|x|, |y|, |z|) =: \mu \geq 1 $. Per assurdo, sia $ \mu > 1 $. E allora $ x^2 + y^2 + z^2 \geq 12 $, mentre si vuole $ x^2 + y^2 + z^2 = 9 $. Dunque a fortiori $ \mu = 1 $. Viste le simmetrie del problema, possiamo perciò supporre in prima istanza $ |x| = 1 $, e permutare poi ogni eventuale terna di soluzioni così ottenuta, per ricavare infine l'insieme $ \mathcal{S} $ di *tutte* le soluzioni possibili. Ebbene, se $ |x| = 1 $, allora $ y^2 + z^2 = 8 $, che è impossibile se $ \max(|y|, |z|) > 2 $; e così pure è impossibile se $ |y| = 1 $ oppure $ |z| = 1 $, dacché l'equazione $ u^2 = 7 $ non possiede soluzioni in numeri interi. Ne viene $ |y| = |z| = 2 $.
Osserviamo a questo punto che ogni terna di tipo $ (x,y,z) $ per cui $ |x| = 1 $ ed $ |y| = |z| = 2 $ soddisfa banalmente l'equazione $ x^4 + y^4 + z^4 = 33 $. Pur tuttavia, affinché sia $ xyz = -4 $, la stessa terna deve pure verificare l'ulteriore condizione $ \mbox{sgn}(x) \cdot \mbox{sgn}(y) \cdot \mbox{sgn}(z) = -1 $. Onde concluderne che una prima famiglia di soluzioni è formata da tutte le triple $ (x,y,z) $ dell'insieme $ \mathcal{S}_1 = \{(1,\pm 2,\mp 2), (-1,\pm 2,\pm 2)\} $, dove i segni s'intendono abbinati secondo le corrispondenze superiore-superiore ed inferiore-inferiore. Da qui e dal precedente, posto $ \mathcal{S}_2 = \{(\pm 2,1,\mp 2), (\pm 2,-1,\pm 2)\} $ ed $ \mathcal{S}_3 = \{(\pm 2,\mp 2,1), (\pm 2,\pm 2,-1)\} $, segue $ \mathcal{S} = \mathcal{S}_1 \cup \mathcal{S}_2 \cup \mathcal{S}_3 $.
Osserviamo a questo punto che ogni terna di tipo $ (x,y,z) $ per cui $ |x| = 1 $ ed $ |y| = |z| = 2 $ soddisfa banalmente l'equazione $ x^4 + y^4 + z^4 = 33 $. Pur tuttavia, affinché sia $ xyz = -4 $, la stessa terna deve pure verificare l'ulteriore condizione $ \mbox{sgn}(x) \cdot \mbox{sgn}(y) \cdot \mbox{sgn}(z) = -1 $. Onde concluderne che una prima famiglia di soluzioni è formata da tutte le triple $ (x,y,z) $ dell'insieme $ \mathcal{S}_1 = \{(1,\pm 2,\mp 2), (-1,\pm 2,\pm 2)\} $, dove i segni s'intendono abbinati secondo le corrispondenze superiore-superiore ed inferiore-inferiore. Da qui e dal precedente, posto $ \mathcal{S}_2 = \{(\pm 2,1,\mp 2), (\pm 2,-1,\pm 2)\} $ ed $ \mathcal{S}_3 = \{(\pm 2,\mp 2,1), (\pm 2,\pm 2,-1)\} $, segue $ \mathcal{S} = \mathcal{S}_1 \cup \mathcal{S}_2 \cup \mathcal{S}_3 $.
$ (x^2+y^2+z^2)^2=9^2 $
$ x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+x^2z^2+x^2z^2)=81 $
$ x^2y^2+x^2z^2+x^2z^2=24 $
$ x^2+y^2+z^2=9 $
$ x^2y^2+x^2z^2+x^2z^2=24 $
$ x^2y^2z^2=16 $
$ x^2, y^2, z^2 $ saranno allora radici di
$ \lambda^3-9\lambda^2+24\lambda-16=0 (\lambda-1)(\lambda-4)^2=0 $
allora, considerando i segni di $ x,y,z $, uno o tutti negativi, avremo come soluzioni tutte le terne del tipo $ (-1,2,2) (1,-2,2) (-1,-2,-2) $ e permutazioni.
$ x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+x^2z^2+x^2z^2)=81 $
$ x^2y^2+x^2z^2+x^2z^2=24 $
$ x^2+y^2+z^2=9 $
$ x^2y^2+x^2z^2+x^2z^2=24 $
$ x^2y^2z^2=16 $
$ x^2, y^2, z^2 $ saranno allora radici di
$ \lambda^3-9\lambda^2+24\lambda-16=0 (\lambda-1)(\lambda-4)^2=0 $
allora, considerando i segni di $ x,y,z $, uno o tutti negativi, avremo come soluzioni tutte le terne del tipo $ (-1,2,2) (1,-2,2) (-1,-2,-2) $ e permutazioni.
_k_
d'altro canto, se $ |xyz|=4 $
le terne di divisori (in modulo) di 4 sono solo $ (1,1,4),(1,2,2) $, e solo la seconda soddisfa la condizione sulla somma dei quadrati.
prendo come prima le terne con un solo valore negativo o tutti e 3 negativi, e permutazioni.
questo rende superflua la condizione sulla somma delle quarte potenze (ed anche se più bruttino pare decisamente il metodo più veloce -_-)
le terne di divisori (in modulo) di 4 sono solo $ (1,1,4),(1,2,2) $, e solo la seconda soddisfa la condizione sulla somma dei quadrati.
prendo come prima le terne con un solo valore negativo o tutti e 3 negativi, e permutazioni.
questo rende superflua la condizione sulla somma delle quarte potenze (ed anche se più bruttino pare decisamente il metodo più veloce -_-)
_k_
...io perlomeno sono rimasto così 
quando l'ho letta... 
confessione
Ehm...in realtà il testo originale non chiedeva di trovare le soluzioni intere...ce lo aggiunto io perché pensavo servisse.... 
scusate, ho corretto...
Bye,
#Poliwhirl#
scusate, ho corretto...Bye,
#Poliwhirl#
