OliForum Matematico

(Spero sia questa la sezione giusta )
Stavo risolvendo alcuni esercizi dei giochi di Archimede del 1996, ma in 2 esercizi non ho capito a fondo le soluzioni:

1) Dato un quadrato con gli spigoli tagliati, si forma un ottagono regolare. La soluzione dice che lato del quadrato$ =x+2{\frac{x}{\sqrt2}} $, con $ x= $lato del poligono. Da dove viene fuori quel $ {\frac{x}{\sqrt2}} $ (che dovrebbe essere così uno dei due lati uguali di ciascuno dei triangoli isosceli "tagliati" dal quadrato iniziale)?

2) Una partita di angurie da 500Kg viene stoccata in magazzino: all'inizio contengono una percentuale d'acqua pari al 99%, poi diventa il 98% (di quella iniziale) in seguito all'evaporazione. Il problema chiede il peso delle angurie dopo la perdita d'acqua.
Se si considera la componente "non acquosa", inizialmente è l'1% del totale, quindi 5 Kg. Alla fine questi 5 Kg rappresentano il 2%, che quindi è $ {\frac{5*100}{2}=250Kg $. Il problema è: se si considera la parte non acquosa è tutto chiaro, ma se invece i calcoli vengono eseguiti in base alle percentuali d'acqua presenti, perchè il peso finale risulta essere diverso (circa 400Kg)? Ho fatto un ragionamento errato?

Di certo è la sezione sbagliata

Matematica non elementare vuol dire dalla 3° liceo in avanti ... cose non olimpiche tipo geometria analitica spinta, schifezze con logaritmi ed esponenziali, studi di funzione, derivate integrali e tutta la matematica universitaria.

Problemi che arrivano proprio dalle olimpiadi di matematica (e in questo caso proprio dalla prima fase) vanno postati a seconda del loro argomento in una delle quattro sezioni di Algebra Combinatoria Geometria o Teoria dei Numeri.

Del resto, questi sono due problemi di argomento diverso ... uff appena ho voglia di spostare il messaggio e spezzarlo lo faccio.

Certe cose in quelle sezioni mi suonavano molto strane (diofantee...), pensavo fossero troppo banali per la sezione del "problem solving olimpico", non sapevo proprio dove postare per i giochi di Archimede in generale.
Spero di non aver creato troppo scompiglio.

Nessuno scompiglio, ma "NON elementare" vuol dire non troppo difficile.

btw, diofantea vuol dire che si cercano solo soluzioni fatte da numeri interi.

Comunque...

1) Considera il quadrato ABCD. Sul lato AB ci sono i punti E,F; sul lato BC i punti G,H; sul lato CD i punti I,J; sul lato DA i punti K,L; di modo che EFGHIJKL sia un ottagono regolare.
Ora, per forza di cose AEL è un triangolo rettangolo in A e isoscele, con AE=AL. Quindi EL=AE$ \sqrt{2} $.
Questo vale anche per il triangolo BFG, rettangolo in B e isoscele con BG=BF. Quindi
FG=EL=BF$ \sqrt{2} $. Ora, FG=EL=EF poichè l'ottagono è regolare.
Quindi AB=AE+EF+FB=$ EF(\frac{1}{\sqrt{2}}+1+\frac{1}{\sqrt{2}}) $ da cui la relazione voluta.

2) Mostra i calcoli che esegui "in base alle percentuali d'acqua presenti" e vedremo se sono giusti.

OK.
Per gli esercizi:
1) Sapevo che erano triangoli rettangoli, ma non avevo pensato a trovare in quel modo il lato: spesso faccio di queste clamorose sviste, spero col tempo e l'esercizio di evitare questi errori.

2) Innanzitutto mi pare strano che un calo d'acqua dell' 1% provochi un dimezzamento del peso.
Io ho ragionato così: se l'1% (calcolato all'inizio) equivale a 5 Kg, dopo lo stoccaggio il peso sarà di 495 Kg. Sembra però che abbia sbagliato tutto.

Hmm, non perde l'1% di acqua...succede che :
M=S+A dove M è la massa totale, S è la parte solida e A è l'acqua.
Dopo l'evaporazione si ha M'=S'+A'. Però S=S' poichè non è cambiata la parte solida.
Si sa che A/M=99/100 e A'/M'=98/100.
La perdita di acqua non è dell'1%...le percentuali si riferiscono a totali diversi, quindi non puoi sottrarle... A è il 99% di M, mentre A' è il 98% di M' che è diverso da M.

Si, adesso funziona!
Era proprio a trabocchetto questo problema.
Grazie.