Find all positive integers $ \displaystyle m, n $ such that $ \displaystyle 2m^2 = 3n^3 $.
Traduzione:
Trovare tutte le coppie intere positive $ \displaystyle (m,n) $ tali che $ \displaystyle 2m^2=3n^3 $.
Bye,
#Poliwhirl#
Diofantea Canadese stagionata (CanMO 1978)
Poniamo (com'è lecito) $ m = 2^x \cdot 3^y \cdot u $ ed $ n = 2^z \cdot 3^t \cdot v $, con $ x,y,z,t\in\mathbb{N} $; $ u, v \in\mathbb{N}_0 $ e $ \gcd(uv,6) = 1 $. Allora $ 2m^2 = 3n^3 $ sse $ 2^{2x+1} \cdot 3^{2y} \cdot u^2 = 2^{3z} \cdot 3^{3t+1} \cdot v^3 $. Da qui, per il teorema fondamentale dell'Aritmetica: $ 2x+1 = 3z $, ovvero $ z = 2\alpha+1 $ ed $ x = 3\alpha + 1 $, con $ \alpha\in\mathbb{N} $; $ 2y = 3t+1 $, donde $ t = 2\beta + 1 $ ed $ y = 3\beta + 2 $, con $ \beta \in \mathbb{N} $; $ u^2 = v^3 $, e quindi $ u = k^3 $ e $ v = k^2 $, con $ k\in\mathbb{N}_0 $. Ne viene che le soluzioni all'equazione proposta si presentano tutte e sole nella forma $ m = 2^{3\alpha + 1} \cdot 3^{3\beta + 2} \cdot k^3 $ ed $ n = 2^{2\alpha + 1} \cdot 3^{2\beta + 1} \cdot k^2 $, per ogni $ \alpha, \beta \in \mathbb{N} $ e $ k\in\mathbb{N}_0 $.