Brazil 1994 (noioso)

[Poliwhirl]

Show that if the positive real numbers $ \displaystyle a, b $ satisfy $ \displaystyle a^3 = a+1 $ and $ \displaystyle b^6 = b+3a $, then $ \displaystyle a > b $.

Traduzione:

Dimostrare che se i numeri reali positivi $ \displaystyle a,b $ soddisfano le relazioni $ \displaystyle a^3=a+1 $ e $ \displaystyle b^6 = b+3a $ allora $ \displaystyle a>b $.

Bye,
#Poliwhirl#

[enomis_costa88]

Non mi pare carino definire un esercizio noioso
By the way la mia soluzione non è elegante e ammetto (mea culpa) d'avere usato la calcolatrice per orientarmi meglio..


Step 1: $ a > 1,32 $

sia $ a=1,32-g $ con $ g \ge 0 $ otterrei:
$ (1,32-g)^3=1,32-g+1 $.
Ovvero: $ 1,32^3-g^3+3*1,32g^2-3*1,32^2g=1,32-g+1 $
$ g^3-3*1,32g^2+g(3*1,32^2-1)+2,32-1,32^3=0 $ eppure:
$ 2,32-1,32^3 > 0 $ (per cui g=0 non è soluzione) e togliendo questi due termini otterrei:
$ g^3-3*1,32g^2+g(3*1,32^2-1) < 0 $ ovvero (raccogliendo e dividendo per g dopo avere verificato che g=0 non è soluzione)
$ g^2-3*1,32g+(3*1,32^2-1) < 0 $ e osservando il delta:
$ ( 3*1,32)^2-4*(3*1,32^2-1) $ che è minore di 0 ottengo che la disequazione assume sempre valori minori di 0. Che è falso (basta una semplice sostituzione per verificarlo..in realtà assume sempre valori positivi).
per cui $ a > 1,32 $


Step 2: a > b

pongo $ b = a+k $ con $ k \ge 0 $
$ (a+k)^6=4a+k $
non svolgo tutti i calcolacci ma mi limito a notare che nello sviluppo di $ (a+k)^6 $ sono presenti i seguenti termini (per il binomio di Newton) $ a^6;6a^5k $ e altri con i coefficenti positivi.
per cui: $ a^6-4a+6a^5k-k \leq 0 $ eppure $ a^5 > 4 $ (perchè a > 1,32) e quindi $ (a^5-4)a+k(6a^5-1) \leq 0 $ è assurdo.
Quindi k non può essere positivo o nullo e si ottiene la tesi.

Buona Serata

[dario2994]

Riesumo a caso:
$(a-1)^2>0\to (a+1)^2>4a\to (a^3)^2>4a\to a^5>4$
Assumo per assurdo $b\ge a$ allora vale:
$\underline{4b}<a^5b\le b\cdot b^5=b^6=\underline{b+3a}\to b<a$
Che è assurdo, quindi la tesi è dimostrata.