Il polinomio $ \displaystyle x^3+px+q $ ha tre radici reali distinte. Dimostrare che $ \displaystyle p<0 $.
Bye,
#Poliwhirl#
Polinomio di terzo grado (Brazil 1992)
Uhm...
Siano $ \alpha_1, \alpha_2 , \alpha_3 $ le tre radici del polinomio in questione.
Per Vietè si ha che:
$ \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0 $
$ \alpha_1\alpha_2+\alpha_2\alpha_3+\alpha_1\alpha_3=p $
$ \alpha_1\alpha_2\alpha_3=-q $
Dunque:
$ (\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)^2-\alpha_1^2-\alpha_2^2-\alpha_3^2=2p $
Ma allora:
$ -\alpha_1^2-\alpha_2^2-\alpha_3^2=2p $
Da cui si ha subito $ p\leq 0 $
D'altra parte se fosse $ p=0 $ dovrebbe essere $ \alpha_1=0,\alpha_2=0,\alpha_3=0 $ il che è assurdo perchè le radici sono, per ipotesi, distinte.
Ciau
Siano $ \alpha_1, \alpha_2 , \alpha_3 $ le tre radici del polinomio in questione.
Per Vietè si ha che:
$ \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0 $
$ \alpha_1\alpha_2+\alpha_2\alpha_3+\alpha_1\alpha_3=p $
$ \alpha_1\alpha_2\alpha_3=-q $
Dunque:
$ (\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)^2-\alpha_1^2-\alpha_2^2-\alpha_3^2=2p $
Ma allora:
$ -\alpha_1^2-\alpha_2^2-\alpha_3^2=2p $
Da cui si ha subito $ p\leq 0 $
D'altra parte se fosse $ p=0 $ dovrebbe essere $ \alpha_1=0,\alpha_2=0,\alpha_3=0 $ il che è assurdo perchè le radici sono, per ipotesi, distinte.
Ciau
P. Andrea
Va bene se rispolvero questa vecchia discussione? Ho in mente un'altra soluzione, ditemi se ci può stare...
Affinché la funzione $ f(x)=x^3+px+q $ abbia tre radici reali distinte, deve essere che, dette le radici $ x_1, x_2, x_3 $, $ f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=0 $. Ricordando il teorema di Rolle (applicabile essendo la funzione ovunque continua e derivabile, e ricordando quanto appena detto), possiamo dire che in $ (x_1, x_2) $ e in $ (x_2, x_3) $, c'è un massimo e un minimo, o un minimo e un massimo. Di conseguenza, derivando e ponendo $ f'(x)=0 $ :
$ f'(x)=3x^2+p $, da cui $ \displaystyle x^2={\frac{-p}{3} $, che ha due soluzioni reali distinte (i punti di massimo e minimo) se e solo se $ p<0 $.
Un saluto!
Affinché la funzione $ f(x)=x^3+px+q $ abbia tre radici reali distinte, deve essere che, dette le radici $ x_1, x_2, x_3 $, $ f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=0 $. Ricordando il teorema di Rolle (applicabile essendo la funzione ovunque continua e derivabile, e ricordando quanto appena detto), possiamo dire che in $ (x_1, x_2) $ e in $ (x_2, x_3) $, c'è un massimo e un minimo, o un minimo e un massimo. Di conseguenza, derivando e ponendo $ f'(x)=0 $ :
$ f'(x)=3x^2+p $, da cui $ \displaystyle x^2={\frac{-p}{3} $, che ha due soluzioni reali distinte (i punti di massimo e minimo) se e solo se $ p<0 $.
Un saluto!
...
Fatta ancora più breve, se $ p>0 $ la derivata prima $ 3x^2+p $sarebbe sempre positiva, e pertanto la funzione polinomiale sarebbe monotona in senso stretto, ergo potrebbe ammettere al massimo una soluzione reale. D'altro canto se $ p=0 $ l'equazione si ridurrebbe a $ x^3 $ = $ -q $, ovvero x = -q^(1/3), quindi p non può che essere minore di 0.