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Il polinomio $ \displaystyle x^3+px+q $ ha tre radici reali distinte. Dimostrare che $ \displaystyle p<0 $.

Bye,
#Poliwhirl#

Uhm...

Siano $ \alpha_1, \alpha_2 , \alpha_3 $ le tre radici del polinomio in questione.

Per Vietè si ha che:

$ \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0 $
$ \alpha_1\alpha_2+\alpha_2\alpha_3+\alpha_1\alpha_3=p $
$ \alpha_1\alpha_2\alpha_3=-q $

Dunque:

$ (\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)^2-\alpha_1^2-\alpha_2^2-\alpha_3^2=2p $

Ma allora:

$ -\alpha_1^2-\alpha_2^2-\alpha_3^2=2p $

Da cui si ha subito $ p\leq 0 $

D'altra parte se fosse $ p=0 $ dovrebbe essere $ \alpha_1=0,\alpha_2=0,\alpha_3=0 $ il che è assurdo perchè le radici sono, per ipotesi, distinte.

Ciau

Va bene se rispolvero questa vecchia discussione? Ho in mente un'altra soluzione, ditemi se ci può stare...

Affinché la funzione $ f(x)=x^3+px+q $ abbia tre radici reali distinte, deve essere che, dette le radici $ x_1, x_2, x_3 $, $ f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=0 $. Ricordando il teorema di Rolle (applicabile essendo la funzione ovunque continua e derivabile, e ricordando quanto appena detto), possiamo dire che in $ (x_1, x_2) $ e in $ (x_2, x_3) $, c'è un massimo e un minimo, o un minimo e un massimo. Di conseguenza, derivando e ponendo $ f'(x)=0 $ :

$ f'(x)=3x^2+p $, da cui $ \displaystyle x^2={\frac{-p}{3} $, che ha due soluzioni reali distinte (i punti di massimo e minimo) se e solo se $ p<0 $.

Un saluto!

Fatta ancora più breve, se $ p>0 $ la derivata prima $ 3x^2+p $sarebbe sempre positiva, e pertanto la funzione polinomiale sarebbe monotona in senso stretto, ergo potrebbe ammettere al massimo una soluzione reale. D'altro canto se $ p=0 $ l'equazione si ridurrebbe a $ x^3 $ = $ -q $, ovvero x = -q^(1/3), quindi p non può che essere minore di 0.