Jensen e la convessità

[mark86]

Una domanda semplice: la diseguaglianza di Jensen vale solo per le funzioni convesse o anche per quelle concave?Ciò nasce dal fatto che Boll ha utilizzato Jensen con il logaritmo che è una funzione concava in questo topic sulla media AM-GM: http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=3928. L'occasione è buona anche per parlare della diseguaglianza di Jensen e di qualche sua applicazione.... vedete un po'!

[MindFlyer]

Certo che vale la disuguaglianza di Jensen per le funzioni concave, ma ovviamente con senso invertito.
Si dimostra banalmente a partire dalla disuguaglianza di Jensen e dal fatto che se f è concava, allora -f è convessa.

[spugna]

Si dimostra banalmente a partire dalla disuguaglianza di Jensen e dal fatto che se f è concava, allora -f è convessa.

Correggetemi se sbaglio,ma mi sembra (ad esempio) che le funzioni $ x^3-x $ e $ -x^3+x $ siano entrambe concave.....

[SkZ]

la definizione di concava e' quella data da tibor, ergo una funzione non puo' essere concava se presa con segno meno e' concava.
Vorrebbe dire che e' la funzione e' convessa

detta visualemente

Nel caso di funzione convessa con dominio reale, [...] una funzione è convessa in un intervallo se e solo se il segmento che unisce due punti generici del grafico sull'intervallo si trova interamente sopra al grafico della funzione.

[Gauss91]

spugna, per quelle funzioni dipende dall'intervallo in cui le consideri: la prima, per x > 0 è convessa e per x < 0 è concava, la seconda è al contrario.
Per ogni intervallo in cui la consideri, dunque, f cambia concavità.

[Nonno Bassotto]

detta visualemente

Nel caso di funzione convessa con dominio reale, [...] una funzione è convessa in un intervallo se e solo se il segmento che unisce due punti generici del grafico sull'intervallo si trova interamente sopra al grafico della funzione.

Una funzione è convessa se il grafico tiene l'acqua quando piove (M. G.)

[SkZ]

questa e' anche meglio (considerato l'autore...)
(ma $ ~e^{ax} $ non riesce a contenere l'acqua )


se la funzione e' $ ~C^2 $ (continua con derivata prima e seconda continua), la convessita' equivale a che la derivata seconda e' positiva?

[Matemick]

spugna, per quelle funzioni dipende dall'intervallo in cui le consideri: la prima, per x > 0 è convessa e per x < 0 è concava, la seconda è al contrario.
Per ogni intervallo in cui la consideri, dunque, f cambia concavità.

non è detto, ci sono funzioni senza punti di flesso che sono o concave o convesse

esempio: $ $e^x $ o $ $log_3{x} $

comunque come dice skz basta studiare il segno della derivata seconda

[fph]

Una funzione è convessa se il grafico tiene l'acqua quando piove (M. G.)

Preferivo il criterio inventato da una mia compagna di scuola: se la derivata seconda è positiva, la funzione sorride; se la derivata seconda è negativa, la funzione è triste.

[SkZ]

$ $e^x$ $ allora ha avuto un ictus?