OliForum Matematico

Reperito dove potete facilmente immaginare, mi è sembrato carino
e piuttosto fattibile (leggi:truccoso).

ABC è un triangolo scaleno di incentro I.
Gamma(A) è la circonferenza tangente internamente ai lati AB ed AC
e passante per I. Similmente definiamo Gamma(B) e Gamma(C).
Siano ora A', B', C' le intersezioni (I escluso) di
Gamma(B) con Gamma(C),
Gamma(C) con Gamma(A),
Gamma(A) con Gamma(B) (rispettivamente).
Dimostrare che i circocentri dei triangoli AIA', BIB', CIC'
giacciono su una stessa retta.

(è più lungo da scrivere che da risolvere )

Nessuno si cimenta? Ma no...
Hint (praticamente ovvio): serve Desargues.

Up!

Tanto di cappello al "praticamente ovvio"

Uhm... proviamoci...

Sia E il punto d'intersezione tra l'asse di BI e quello di CI, F l'intersezione tra l'asse di AI e quello di CI, G l'intersezione tra l'asse di AI e quello di BI.

1.
Dimostriamo che AE, BF, CG concorrono in I.
Sia D l'intersezione tra AI e BC. Avremo che B^ID=B^AI+I^BA. Ora, E è il centro della circonferenza circoscritta a BIC, da cui I^EB=2*I^CB; inoltre, essendo EIB isoscele, E^IB=B^AI+I^BA=B^ID. Perciò A, I, D, E sono allineati.
Con lo stesso procedimento dimostriamo l'allineamento di B, I, F e C, I, G: AE, BF, CG concorrono in I.

2.
Siano O, O', O'' i centri di gamma(A), gamma(B), gamma(C). Si ricava facilmente che O si trova su AI, O' su BI, O'' su CI. Perciò le rette EO, GO', FO'' concorrono in I.

3.
Adesso, applicando il teorema di Desargues ai triangoli OO'O'' e EFG avremo che i punti d'intersezione tra OO' e EG, tra O'O'' e GF, tra O''O ed FE sono allineati.
Ma questi punti sono proprio quelli del nostro problema! Infatti OO' è l'asse di IB' e EG è l'asse di BI, quindi il loro punto d'intersezione è il circocentro di BIB'... e così per gli altri due punti.

Aspetto correzioni/osservazioni/rimproveri da chi avrà la pazienza di mettersi a leggere questa roba...

Problema equivalente le rette AA', BB', CC' concorrono

Perchè il problema è equivalente?

Beh, phi, la soluzione mi pare corretta (lascerò a elianto84 il piacere di leggerla per bene e correggere se necessario); di certo non hai scelto la via più breve per applicare il buon Desargues ...

A tutti gli altri che ancora non han risolto il problema : leggete il messaggio di Simo e rispondete!! ...se poi vi sprecate anche a provare che AA',BB', CC' concorrono, tanto di guadagnato!!