Stewart e le bisettrici

[karl]

Tramite il teorema di Stewart dimostrate il famoso (ed ormai anche.... un
po' logoro) teorema che afferma che se un triangolo ha due bisettrici
congruenti, ha congruenti pure i lati su cui esse cadono.
Visto che ci siete ,dimostrate il teorema di Stewart senza ricorrere
alla trigo.

[elianto84]

Correggo.
Per Stewart

$ c(\frac{ab}{b+c})^2+b(\frac{ac}{b+c})^2 = a l_a^2 + \frac{ab}{b+c}(\frac{ac}{b+c})^2 + \frac{ac}{b+c}(\frac{ab}{b+c})^2 $

(la formula per la lunghezza della bisettrice ne è conseguenza)

$ K=abc $
$ f(t)=\frac{p-t}{t(2p-t)^2} $
$ l_a^2=\frac{4pbc(p-a)}{(2p-a)^2}=4pK f(a) $
$ l_a^2=l_b^2 \quad \rightarrow \quad a=b $

per monotonia (e dunque, iniettività) della f tra 0 ed p.

[karl]

Se $ l_a $ e' ,come presumo,la bisettrice relativa al lato BC=a
allora la formula esatta e' :
$ \displaystyle l_a^2=\frac{4pbc(p-a)}{(b+c)^2} $
(del resto la formula indicata da Elianto non e' dimensionalmente corretta).
L'idea comunque e' quella ,anche se avevo chiesto di partire dal
teorema di Stewart che ,a differenza della formula della bisettrice,
e' abbastanza noto.