Non ho studiato i tensori, ma mi sembra di aver capito che rappresentano in generale le applicazioni multilineari.
Mi chiedevo allora quale fosse un'applicazione lineare semplice, anzi più precisamente quale fosse l'omomorfismo, applicato sullo spazio vettoriale delle matrici quadrate N*N (chiamiamo questo spazio vettoriale "M"). Per semplicità suppongo di lavorare su spazi sui numeri reali.
Mi sembra che un omomorfismo in questo spazio sia rappresentato da una matrice quadrata N*N stessa, e l'applicazione consiste nella moltiplicazione tra matrici.
Se chiamiamo A la matrice quadrata che rappresenta l'applicazione, mi chiedevo come si facesse a trovare il nucleo di questa applicazione, e come se ne calcola la dimensione.
Chiamiamo V lo spazio vettoriale di dimensione N su corpo R, a cui appartiene il sottospazio vettoriale costituito dallo span delle righe della matrice A. Chiamiamo questo sottospazio W, e sia p la sua dimensione (che sarebbe poi anche il rango della matrice A).
Chiamiamo X il sottospazio ortogonale a W secondo il prodotto scalare euclideo standard, e sia q la sua dimensione.
Dato che lavoriamo sui numeri reali, posso affermare con sicurezza che p+q=N.
Ora vi chiedo di verificare le mie affermazioni:
1) Per costruire una matrice B tale che il prodotto AB sia nullo bisogna scegliere le colonne di B all'interno del sottospazio X.
2) Di conseguenza posso affermare che rank(A)+rank(B) <= N .
Come si calcola la dimensione del nucleo dell'omomorfismo in M rappresentato dalla matrice A? Chiamiamo F questo omomorfismo.
Prendiamo una base qualsiasi di X, detta (x1,x2,x3.....,xq).
Costruiamo la matrice B usando come colonne gli elementi della base di X.
Vediamo quante matrici B linearmente indipendenti possiamo costruire.
Possiamo costruire una base di ker(F) in questo modo: usiamo matrici che hanno solo una colonna non nulla.
In questo modo posso costruire q*n matrici linearmente indipendenti: chiamiamo Bij gli elementi di questa base:
B11=(x1,0,0,....0); B12=(x2,0,.....0); B3=(x3,0,....0);....B1q=(xq,0,...0)
B21=(0,x1,0,....0); B22=(0,x2,0,....0); B23=(0,x3,0,....0)... B2q=(0,xq,0,....0);
....
Bn1=(0,0,0.....x1); Bn2=(0,0,0.....x2); Bn3=(0,0,0.....x3)....Bnq=(0,0,....0,xq).
3) L'insieme di matrici che ho elencato è effettivamente una base di Ker(F), e quindi la dimensione di Ker(F)=q*n ?
Mi sembra che si possa analogamente fare un ragionamento per dimostrare che la dim(Span(F))=p*n
Come cambiano le seguenti affermazioni nel caso parli di un corpo più generale di R? Mi sembra che un limite delle mie argomentazioni stia nell'avere usato i prodotti scalari euclidei.
Chiedo umilmente il vostro parere.
piccolo dubbio (scusate la banalità) sugli omomorfismi.
uhm...
forse ho frainteso quello che intendevi, però...
$ \displaystyle M_n(\mathbb{R}) $, inteso come spazio vettoriale, è isomorfo a $ \displaystyle \mathbb{R}^{n^2} $, quindi gli endomorfismi di $ \displaystyle M_n(\mathbb{R}) $ dovrebbero essere isomorfi a $ M_{n^2}(\mathbb{R}) $, cioè a $ \displaystyle \mathbb{R}^{n^4} $.
spero di essere stato vagamente chiaro...
forse ho frainteso quello che intendevi, però...
$ \displaystyle M_n(\mathbb{R}) $, inteso come spazio vettoriale, è isomorfo a $ \displaystyle \mathbb{R}^{n^2} $, quindi gli endomorfismi di $ \displaystyle M_n(\mathbb{R}) $ dovrebbero essere isomorfi a $ M_{n^2}(\mathbb{R}) $, cioè a $ \displaystyle \mathbb{R}^{n^4} $.
spero di essere stato vagamente chiaro...
Ehm mi scuso ma non sono minimamente in grado di capire la tua spiegazione...non ho mai capito bene il concetto di isomorficità.
Comunque ho visto che c'era un modo molto più semplice di quello che ho spiegato prima per dimostrare che la dimensione dell'immagine di F (l'applicazione rappresentata dal prodotto per la matrice A), sia:
dim(Im(F))=n*rank(A)
infatti, applichiamo F alla base canonica di Mn(C) (sì, parlo di matrici complesse. non uso più prodotti scalari in questa dimostrazione, posso estenderla ai complessi).
La base è costituita da matrici che hanno tutti gli elementi nulli tranne uno, e quest'ultimo ha valore 1.
es: (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)
(0,0,0) (0,0,0) (0,0,0)
(0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) ecc...
Quando moltiplico la matrice A per una di queste matrici, per esempio sia Bij la matrice per cui l'unico elemento non nullo sia appunto B(i,j)=1, ottengo una matrice C che ha solo una colonna non nulla, la colonna j. La colonna j di C sarebbe la colonna i di A.
In altre parole moltiplicando A per una matrice di questa base canonica, si ottiene una matrice che prende una colonna di A e ne cambia la posizione.
(1,2,3) * (0,0,0) = (0,0,2)
(4,5,6) (0,0,1) (0,0,5)
(7,8,9) (0,0,0) (0,0,8)
Quindi abbiamo n posizioni possibili per un numero pari a rank(A) di colonne linearmente indipendenti. Abbiamo quindi rank(A)*n matrici linearmente indipendenti.
Lo so che è espresso rozzamente, ma credo che concettualmente sia giusto.
P.S.: hai studiato sul ciliberto? io sul lang. il ciliberto non lo digerivo
Comunque ho visto che c'era un modo molto più semplice di quello che ho spiegato prima per dimostrare che la dimensione dell'immagine di F (l'applicazione rappresentata dal prodotto per la matrice A), sia:
dim(Im(F))=n*rank(A)
infatti, applichiamo F alla base canonica di Mn(C) (sì, parlo di matrici complesse. non uso più prodotti scalari in questa dimostrazione, posso estenderla ai complessi).
La base è costituita da matrici che hanno tutti gli elementi nulli tranne uno, e quest'ultimo ha valore 1.
es: (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)
(0,0,0) (0,0,0) (0,0,0)
(0,0,0) (0,0,0) (0,0,0) ecc...
Quando moltiplico la matrice A per una di queste matrici, per esempio sia Bij la matrice per cui l'unico elemento non nullo sia appunto B(i,j)=1, ottengo una matrice C che ha solo una colonna non nulla, la colonna j. La colonna j di C sarebbe la colonna i di A.
In altre parole moltiplicando A per una matrice di questa base canonica, si ottiene una matrice che prende una colonna di A e ne cambia la posizione.
(1,2,3) * (0,0,0) = (0,0,2)
(4,5,6) (0,0,1) (0,0,5)
(7,8,9) (0,0,0) (0,0,8)
Quindi abbiamo n posizioni possibili per un numero pari a rank(A) di colonne linearmente indipendenti. Abbiamo quindi rank(A)*n matrici linearmente indipendenti.
Lo so che è espresso rozzamente, ma credo che concettualmente sia giusto.
P.S.: hai studiato sul ciliberto? io sul lang. il ciliberto non lo digerivo