Topologia: una c.n.s. sulle basi (secondo Marsden&Co.)

[HiTLeuLeR]

Marsden, Abraham & Ratiu wrote:

"Let $ (\mathcal{S}, \mathcal{O}) $ be a topological space. Then a subset $ \mathcal{B} $ of $ \mathcal{O} $ is a basis for the topology of $ \mathcal{S} $ if and only if the following three conditions hold:

B1. $ \emptyset \in \mathcal{B} $;

B2. $ \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B = \mathcal{S} $;

B3. if $ B_1, B_2 \in \mathcal{B} $, then $ B_1 \cap B_2 $ is a union of elements of $ \mathcal{B} $."

Ora... Che la condizione sia necessaria è fatto banale (e fra parentesi, dico che la B1. mi pare comunque ridondante, visto che $ \emptyset $ si può sempre rappresentare come unione vuota di elementi di $ \mathcal{B} $). Sul fatto che sia pure sufficiente, ecco... lì ho qualche dubbio! Siano infatti $ \mathcal{S} $ un insieme qualunque ed $ \mathcal{O} $ la topologia discreta su $ \mathcal{S} $. Posto $ \mathcal{B} = \{\emptyset, \mathcal{S}\} $, è evidente che $ \mathcal{B} $ soddisfa le condizioni B1., B2., B3. sopra elencate. Eppure in generale $ \mathcal{B} $ non rappresenta di certo una base della topologia. Dunque vi chiedo: ho preso una cantonata madornale, o posso già abbozzare una bella lettera insultoria indirizzata ai tre autori? Come dire, son soddisfazioni... Spero che almeno il mio topologo preferito (ciau, Ev!) non mancherà di offrirmi il suo consiglio in proposito.

P.S.: preciso che la definizione di base topologica fornita da Marsden, Abraham e Ratiu è assolutamente standard, e la ripeto di seguito per completezza: "Let $ (\mathcal{S}, \mathcal{O}) $ be a topological space. Then a subset $ \mathcal{B} $ of $ \mathcal{O} $ is a basis for the topology, if each open set is a union of elements in $ \mathcal{B} $."

[EvaristeG]

In effetti, quel teorema è falso :
l'enunciato corretto suona più o meno come

"Sia B un sottoinsieme delle parti di S, allora B è la base di UNA topologia su S se e solo se B1 B2 B3"

Il fatto è che quelle tre condizioni garantiscono che gli insiemi del tipo
$ \displaystyle{\bigcup_{B\in\mathfrak{B}}B} $
possono essere gli aperti di una topologia.
Quale topologia questa sia non è determinato da queste tre condizioni.

Per capirci : quelle tre condizioni non tirano in ballo la topologia O, quindi sono soddisfatte da qualunque collezione di sottoinsiemi di S che formano la base di una qualunque possibile topologia su S.

[MindFlyer]

B3. if $ B_1, B_2 \in \mathcal{O} $, then $ B_1 \cap B_2 $ is a union of elements of $ \mathcal{B} $.

...E se la cambiamo così? Forse era solo un errore di stampa.

[EvaristeG]

Mind, così il teorema si trasforma in
"A è vero se e solo se A è vero"

La condizione imposta da te equivale a chiedere che B sia una base in quanto è la definizione di una base.

[HiTLeuLeR]

Ok, denghiu.

[MindFlyer]

E' chiaro, ma a questo punto mi sorge spontanea la domanda:
ma siamo sicuri che il passo citato di HiTLeuLeR non fosse semplicemente la definizione di base di uno spazio topologico (modulo errori di stampa)? O, se veramente si tratta di un teorema, forse la definizione data dal testo non è quella standard?

[HiTLeuLeR]

Rassicurati, Mind! Punto i): non mi sono ancora del tutto rincoglionito. Punto ii): la definizione di topologia fornita da Marsden&Friends è del tutto standard, e te la riporto pure, siccome riconosco che la mia parola potrebbe pure non bastarti :

A topological space is a set $ \mathcal{S} $ together with a collection $ \mathcal{O} $ of subsets of $ \mathcal{S} $, called open sets, such that

T1. $ \emptyset, \mathcal{S} \in \mathcal{O} $;

T2. if $ U_1, U_2 \in \mathcal{O} $, then $ U_1 \cap U_2 \in \mathcal{O} $;

T3. the union of any collection of open sets is open.

[MindFlyer]

HiTLeuLeR, quella che hai citato è la definizione di spazio topologico, mentre io volevo quella di base di uno spazio topologico. E ripeto: sicuro che la definizione non fosse proprio quella che hai citato nel primo post?

[HiTLeuLeR]

P.S.: preciso che la definizione di base topologica fornita da Marsden, Abraham e Ratiu è assolutamente standard, e la ripeto di seguito per completezza: "Let $ (\mathcal{S}, \mathcal{O}) $ be a topological space. Then a subset $ \mathcal{B} $ of $ \mathcal{O} $ is a basis for the topology, if each open set is a union of elements in $ \mathcal{B} $."

Ehmmm... Questa è la definizione fornita dal testo, e in effetti l'avevo già inserita in calce al primo post. E allora?

[MindFlyer]

Ah, non avevo visto l'aggiunta del P.S.

[HiTLeuLeR]

[...] ma siamo sicuri che il passo citato di HiTLeuLeR non fosse semplicemente la definizione di base di uno spazio topologico (modulo errori di stampa)?

Boooh... Ci avevo inteso "(definizione di base) (di uno spazio topologico)", qualsiasi cosa voglia dire (...), anziché "(definizione) (di base di uno spazio topologico)", gh...

Rassicurati, Mind! Punto i): non mi sono ancora del tutto rincoglionito.

Lol! Le ultime parole famose...