Problema: mostrare che uno spazio topologico numerabile di II specie è pure separabile.
Qualche suggerimento da darmi? Non ne sono venuto a capo in nessun modo...
Topologia: s'è numerabile di II specie, allora è separabile
Topologia: s'è numerabile di II specie, allora è separabile
Definizione: uno spazio topologico $ (\mathcal{S}, \mathcal{O}) $ è detto numerabile di II specie se possiede una base numerabile. E' detto poi separabile se esiste un insieme numerabile $ A \subseteq \mathcal{S} $ tale che $ \mbox{cl}(A) = \mathcal{S} $, dove $ \mbox{cl}(A) $ indica la chiusura di $ A $.
Problema: mostrare che uno spazio topologico numerabile di II specie è pure separabile.
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Problema: mostrare che uno spazio topologico numerabile di II specie è pure separabile.
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Ricordati, Hit, che la topologia è stata fatta a partire dai reali... se su $ \mathbb{R}^n $ hai la base numerabile data dalle palle di centro razionale e raggio razionale, i centri ti danno l'insieme denso numerabile di cui hai bisogno.
In generale, dunque, data la base numerabile $ \mathfrak{B} $, per ogni suo B scegli $ x_B\in B $.
Per ipotesi, ogni aperto della tua topologia contiene un B e quindi un x_B, quindi l'insieme $ \{x_B\}_{B\in\mathfrak{B}} $ è denso e numerabile.
Grazie della dritta.