Divisibilità... infinita

[Spider]

Questo problema proviene dalle ottime dispense di Naoki Sato, peciò molti lo conosceranno già:

Dimostrare che se $ a $ e $ b $ sono interi positivi tali che $ a|b^2, b^2|a^3, a^3|b^4, b^4 | a^5 ... $, allora $ a = b $.

Ciao,
Salvatore

[HiTLeuLeR]

Dalle ipotesi, per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $: $ a^{1-\frac{1}{2n}} \leq b \leq a^{1 + \frac{1}{2n}} $. Da qui $ a = b $, passando al limite ai tre membri per $ n\to \infty $.

[Sisifo]

Non riesco a capire la dim di Hitl. Nel frattempo posto una mia soluzione.

I fattori primi di a e b sono esttamente gli stessi, perchè dato un primo arbitrario p se $ p | a \quad e \quad a | b^2 \rightarrow p | b^2 \rightarrow p | b $ dato che p è primo. Analogamente $ p|b \quad e \quad b^2 | a^3 \rightarrow p| a^3 \rightarrow p | a $. Quindi
p| a è equivalente a p| b.

Inoltre, detto p' uno di questi fattori comuni, poichè $ a|b^2 \quad e \quad a^3 | b^4 $, allora
se $ \alpha \quad e \quad \beta $ sono gli esponenti di p nella fattorizzazione di a e b allora $ \alpha \le 2 \beta $ e $ 3 \alpha \le 4 \beta $. Sottraendo la seconda disequazione dalla prima si ha $ 2 \alpha \le 2 \beta \rightarrow \alpha \le \beta $.

Allo stesso modo poichè $ b^2 | a^3 $ e $ b^4 | a^5 $ allora
$ 2 \beta \le 3 \alpha $ e $ 4 \ beta \le 5 \alpha $ perciò $ \beta \le \alpha $. Quindi $ \alpha = \beta $. Poichè questo vale per ogni primo della fattroizzazione, possiamo dire che a=b.

[Spider]

I fattori primi di a e b sono esttamente gli stessi, perchè dato un primo arbitrario p se $ p | a \quad e \quad a | b^2 \rightarrow p | b^2 \rightarrow p | b $ dato che p è primo. Analogamente $ p|b \quad e \quad b^2 | a^3 \rightarrow p| a^3 \rightarrow p | a $. Quindi
p| a è equivalente a p| b.

Ok

Inoltre, detto p' uno di questi fattori comuni, poichè $ a|b^2 \quad e \quad a^3 | b^4 $, allora
se $ \alpha \quad e \quad \beta $ sono gli esponenti di p nella fattorizzazione di a e b allora $ \alpha \le 2 \beta $ e $ 3 \alpha \le 4 \beta $. Sottraendo la seconda disequazione dalla prima si ha $ 2 \alpha \le 2 \beta \rightarrow \alpha \le \beta $.
a=b.

No! Purtroppo le disequazioni non si possono sottrarre membro a membro...

Ciao,
Salvatore

[HiTLeuLeR]

Non riesco a capire la dim di Hitl.

Dal testo: $ a^{2n-1} \mid b^{2n} $ e $ b^{2n} \mid a^{2n+1} $, e quindi $ a^{2n-1} \leq b^{2n} \leq a^{2n+1} $, per ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $. Chiaro, adesso?!