Ciao a tittu!
<BR>Problema
<BR>trovare i polinomi irriducibili f, a coefficienti razionali, con la proprietà che esiste a (anche complesso) tali polinomi ammettono come radice anche a^2
<BR>
<BR>Ancora non ho provato a risolverlo...
<BR>CAT
<BR>Mircea
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Polinomi
Moderatore: tutor
E io nemmeno ho capito il testo...
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I can smile... and kill while i smile.
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Ciao a tittu!
<BR> Problema
<BR> trovare i polinomi irriducibili f, a coefficienti razionali, con la proprietà che SE esiste a (anche complesso) tali polinomi ammettono come radice a, ammettono anke a^2. Irriducibile vuol dire non scomponibile in polinomi a coeff. reali. Mircea
<BR> Problema
<BR> trovare i polinomi irriducibili f, a coefficienti razionali, con la proprietà che SE esiste a (anche complesso) tali polinomi ammettono come radice a, ammettono anke a^2. Irriducibile vuol dire non scomponibile in polinomi a coeff. reali. Mircea
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BlaisorBlade
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Dunque: se a e a^2 sono radici di p(x), allora (x-a)(x-a^2) divide p(x). Se a € C e a non€R neanche a^2 è reale. Se p(x) a coefficenti reali ha una soluzione complessa a=x+yi, allora ha una soluzione a\'=x-yi, la sua coniugata; sia b=coniug(a^2), si ha p(x)=(x-a)(x-a^2)(x-a\')(x-b)q(X). per ogni a complesso che è soluzione, sono soluzioni anche a^2, a\' e b. Se a è reale, solo a^2 è sua soluzione.
<BR>Questi sono alcuni pensieri.
<BR>Altro discorso: se a è soluzione, allora a^2, a^4, a^8, e così via sono soluzioni!!! Allora, poiché p(x) non ha infinite soluzioni, le potenze di a si ripetono, quindi a è una radice dell\'unità, reale o complessa! Inoltre, poiché p(x) non è riducibile in Q, allora 1 e -1 non sono soluzioni, e quindi a è per forza complesso. a è una radice dell\'unità, a ha coefficenti razionali. Ora secondo me le sole soluzioni possibili, dato che le radici dell\'unità diverse da 1 e -1 sono soluzioni dell\' equazione:
<BR>x^n-1=0 si divide questo x^n-1 per (x-1) (e per (x+1) se n è pari) e si ottiene un polinomio soluzione. Secondo me non ce ne sono altri, ma non so come precisarlo.
<BR>Questi sono alcuni pensieri.
<BR>Altro discorso: se a è soluzione, allora a^2, a^4, a^8, e così via sono soluzioni!!! Allora, poiché p(x) non ha infinite soluzioni, le potenze di a si ripetono, quindi a è una radice dell\'unità, reale o complessa! Inoltre, poiché p(x) non è riducibile in Q, allora 1 e -1 non sono soluzioni, e quindi a è per forza complesso. a è una radice dell\'unità, a ha coefficenti razionali. Ora secondo me le sole soluzioni possibili, dato che le radici dell\'unità diverse da 1 e -1 sono soluzioni dell\' equazione:
<BR>x^n-1=0 si divide questo x^n-1 per (x-1) (e per (x+1) se n è pari) e si ottiene un polinomio soluzione. Secondo me non ce ne sono altri, ma non so come precisarlo.
> On 2002-06-08 20:31, BlaisorBlade wrote:
<BR>> Se a € C e a non€R neanche a^2 è reale.
<BR>
<BR>Eh? a=i?
<BR>
<BR>> per ogni a complesso che è soluzione,
<BR>> sono soluzioni anche a^2, a\' e b.
<BR>
<BR>No.
<BR>Si è detto che ESISTE a per cui a e a^2 sono radici, non che PER OGNI a radice, lo è anche a^2.
<BR>
<BR>> Altro discorso: se a è soluzione, allora
<BR>> a^2, a^4, a^8, e così via sono
<BR>> soluzioni!!! Allora, poiché p(x) non ha
<BR>> infinite soluzioni, le potenze di a si
<BR>> ripetono, quindi a è una radice dell\'unità,
<BR>> reale o complessa!
<BR>
<BR>No. Come sopra.
<BR>> Se a € C e a non€R neanche a^2 è reale.
<BR>
<BR>Eh? a=i?
<BR>
<BR>> per ogni a complesso che è soluzione,
<BR>> sono soluzioni anche a^2, a\' e b.
<BR>
<BR>No.
<BR>Si è detto che ESISTE a per cui a e a^2 sono radici, non che PER OGNI a radice, lo è anche a^2.
<BR>
<BR>> Altro discorso: se a è soluzione, allora
<BR>> a^2, a^4, a^8, e così via sono
<BR>> soluzioni!!! Allora, poiché p(x) non ha
<BR>> infinite soluzioni, le potenze di a si
<BR>> ripetono, quindi a è una radice dell\'unità,
<BR>> reale o complessa!
<BR>
<BR>No. Come sopra.
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BlaisorBlade
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Scusa, hai ragione, ma comunque mi sbagliavo un po\' sulla soluzione alla mia versione del problema. Già che ci sono, la posto(appena ho tempo). Allora: per ogni soluzione a tale che a^2 è soluzione, il nostro polinomio è divisibile per (x-a)(x-a^2)=x^2-a(a+1)x+a^3. Se a è complessa, anche il coniugato di a ne è soluzione. E poi? Boh! È molto più difficile. La prossima volto posto la soluzione della mia versione del problema, quella del mio malinteso(ammetto che come l\'avevo capito era molto più facile).
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BlaisorBlade
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Ecco la soluzione(spero giusta stavolta)
<BR>Dunque: trovare P(x) irriducibile nel campo reale, a coefficienti razionali, tale che esiste a tale che p(a)=p(a^2)=0.
<BR>
<BR>Per il teorema fondamentale dell\'algebra(nella forma in cui lo dimostrò Gauss, dice che ogni polinomio è scomponibile in un prodotto di polinomi di 1° o 2° grado nel campo reale), ogni polinomio di grado superiore al secondo è riducibile nel campo reale. Se p(x) è di 1° grado, ha una sola radice; quindi a=a^2, e a=0 o a=1. Allora p(x)=b(x-1) o p(x)=bx, con b razionale qualunque non nullo;
<BR>se in p(x)=0 p è di grado zero, l\'equazione è impossibile; se p(x) è il polinomio nullo, esso è effettivamente soluzione.
<BR>
<BR>Se p(x) è di secondo grado, poiché non è riducibile, non ha radici reali, ne ha due complesse(quindi delta<0 e sono distinte): sono inoltre coniugate. Siano s1=x+yi e s2=x-yi le due radici, con y=/=0. Si deve avere che s2=s1^2; separando parte reale e immaginaria, si ha il sistema:
<BR>
<BR>x^2-y^2=x
<BR>2xy=-y
<BR>
<BR>cioè
<BR>x=-1/2
<BR>y=+-sqrt(3)/2
<BR>ovvero due soluzioni coniugate; in effetti, si ha che s2=s1^2 e s1=s2^2. Il polinomio con queste radici è x^2+x+1, o meglio p(x)=b(x^2+x+1) con b razionale qualunque non nullo. Quindi:
<BR>p(x)=0
<BR>p(x)=b(x-1)
<BR>p(x)=bx
<BR>p(x)=b(x^2+x+1) con b razionale non nullo.
<BR>In effetti, in tutti i casi, per ogni radice a, a^2 è radice.
<BR>Dunque: trovare P(x) irriducibile nel campo reale, a coefficienti razionali, tale che esiste a tale che p(a)=p(a^2)=0.
<BR>
<BR>Per il teorema fondamentale dell\'algebra(nella forma in cui lo dimostrò Gauss, dice che ogni polinomio è scomponibile in un prodotto di polinomi di 1° o 2° grado nel campo reale), ogni polinomio di grado superiore al secondo è riducibile nel campo reale. Se p(x) è di 1° grado, ha una sola radice; quindi a=a^2, e a=0 o a=1. Allora p(x)=b(x-1) o p(x)=bx, con b razionale qualunque non nullo;
<BR>se in p(x)=0 p è di grado zero, l\'equazione è impossibile; se p(x) è il polinomio nullo, esso è effettivamente soluzione.
<BR>
<BR>Se p(x) è di secondo grado, poiché non è riducibile, non ha radici reali, ne ha due complesse(quindi delta<0 e sono distinte): sono inoltre coniugate. Siano s1=x+yi e s2=x-yi le due radici, con y=/=0. Si deve avere che s2=s1^2; separando parte reale e immaginaria, si ha il sistema:
<BR>
<BR>x^2-y^2=x
<BR>2xy=-y
<BR>
<BR>cioè
<BR>x=-1/2
<BR>y=+-sqrt(3)/2
<BR>ovvero due soluzioni coniugate; in effetti, si ha che s2=s1^2 e s1=s2^2. Il polinomio con queste radici è x^2+x+1, o meglio p(x)=b(x^2+x+1) con b razionale qualunque non nullo. Quindi:
<BR>p(x)=0
<BR>p(x)=b(x-1)
<BR>p(x)=bx
<BR>p(x)=b(x^2+x+1) con b razionale non nullo.
<BR>In effetti, in tutti i casi, per ogni radice a, a^2 è radice.
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BlaisorBlade
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allora, se ho capito bene(se no riposta il testo!!!!) i polinomi devono essere irriducibili nel campo reale, no(se sono irriducibili nel campo razionale, allora ne riparliamo)? Allora:
<BR>x^4+x^3+x^2+x+1=(x^5-1)/(x-1). Le radici quinte dell\'unità sono cos a+i sin a dove a=(2kPigreco)/5 con k intero da 0 a 4(da 1 a 4 per le radici complesse, che sono quelle che ci interessano). Gli angoli saranno perciò: 72°, 144°, -144°, -72°. Angoli opposti corrispondono a radici coniugate(stesso cos e opposto sin) e quindi x^4+x^3+x^2+x+1=((x-cos72)^2-(sin72)^2)((x-cos144)^2-(sin144)^2). Quindi il polinomio è riducibile nel campo reale. Comunque l\'avevo già detto nella precedente dim., solo che mi ero basato sul teorema fondamentale dell\'algebra; qua, sul tuo esempio, l\'ho concretamente scomposto.
<BR>x^4+x^3+x^2+x+1=(x^5-1)/(x-1). Le radici quinte dell\'unità sono cos a+i sin a dove a=(2kPigreco)/5 con k intero da 0 a 4(da 1 a 4 per le radici complesse, che sono quelle che ci interessano). Gli angoli saranno perciò: 72°, 144°, -144°, -72°. Angoli opposti corrispondono a radici coniugate(stesso cos e opposto sin) e quindi x^4+x^3+x^2+x+1=((x-cos72)^2-(sin72)^2)((x-cos144)^2-(sin144)^2). Quindi il polinomio è riducibile nel campo reale. Comunque l\'avevo già detto nella precedente dim., solo che mi ero basato sul teorema fondamentale dell\'algebra; qua, sul tuo esempio, l\'ho concretamente scomposto.