area massima di un poligono di perimetro L

[rargh]

Data una lunghezza L, e un numero N intero, qual'è il poligono di perimetro L che racchiude l'area massima? Per ora sono riuscito a dimostrare che per massimizzare l'area i lati devono essere tutti uguali e di lunghezza L/n, ma non sono riuscito a dimostrare una congettura, cioé che l'area è massima per poligoni regolari. Immagino che sia un problema classico già strarisolto, qualcuno potrebbe darmi una soluzione (naturalmente elementare, senza analisi)?
Inoltre potete dimostrare senza analisi che, fissata la lunghezza L, l'area di un poligono regolare di perimetro L è crescente all'aumentare del numero di lati? Da questo si deduce che l'area massima di un poligono di perimetro L è l'area del cerchio di perimetro L.
Una volta risposto a questi quesiti, potete passare a considerazioni di matematica non elementare: data una qualsiasi curva chiusa continua di lunghezza misurabile, pari a L, usare il risultato precedente per dimostrare che l'area massima è ancora quella del cerchio di perimetro L. Ovviamente, visto che parlo di curve continue qualsiasi, anche non derivabili, non vanno bene dimostrazioni con calcolo differenziale o variazionale.

[elianto84]

Fissata la lunghezza e l'ordine dei lati il poligono di area massima è ciclico,
e questo si vede facilmente con i moltiplicatori di Lagrange (già postato in
matematica non elementare, se non ricordo male).
Se a questo aggiungi che fissato il perimetro i lati devono essere tutti congruenti,
dovresti sbrigarti con poco.

Comunque presa una curva continua di dato perimetro ne esiste una di classe C1
con lo stesso perimetro ma area maggiore, per cui puoi restringere lo studio
a quest'ultima classe di curve ed applicare il metodo delle variazioni
(eventualmente discretizzato, anche questo già visto in matematica non elementare).

[EvaristeG]

Hmm mi pare che rargh avesse chiesto una soluzione senza analisi ...

[fph]

In ogni caso non e' un esercizio olimpico quindi lo sposto in MNE. Poi usate gli strumenti che volete.

[rargh]

Ma insomma, non avete letto? Ho detto senza analisi e senza calcolo variazionale! Niente moltiplicatori di lagrange quindi.
Per esempio, un modo per dimostrare che i lati del poligono devono essere tutti uguali, pensavo a questo. Prendiamo una coppia di lati adiacenti, AB e BC. La somma delle loro lunghezze è m. Possiamo aumentare l'area del poligono se masssimizziamo l'area del triangolo ABC, tenendo fermi A e C e spostando B, e tenendo fissa la somma di AB e BC a m. Il luogo dei punti per cui la somma delle lunghezze di questi lati è costante è un'ellisse, con i fuochi in A e C. L'altezza del triangolo ABC relativa a AC è la distanza tra C e la retta per AC. AC è fissato quindi l'altezza massima si ha per il punto "più in alto" dell'ellisse, quello per cui AB e BC sono uguali. Allora l'area massima del poligono implica che tutti i lati siano uguali. Ora qualcuno più bravo in geometria elementare mi trovi la dimostrazione che per un poligono di n lati uguali e di perimetro fissato, l'area massima si ha per poligoni regolari.
Preferirei lo metteste di nuovo in geometria. Accontentiamoci dei poligoni, lasciamo perdere le curve qualsiasi. Se lo lasciate in MNE verranno solo proposte soluzioni non elementari, e lasciate che ve lo dica, capita spesso che più si impara matematica non elementare e più si dimentica come usare bene quella elementare.

[Oblomov]

Inoltre potete dimostrare senza analisi che, fissata la lunghezza L, l'area di un poligono regolare di perimetro L è crescente all'aumentare del numero di lati? Da questo si deduce che l'area massima di un poligono di perimetro L è l'area del cerchio di perimetro L.

Ma quale analisi?Io non so come ci si potrebbbe incastrare qualcosa che non sia geometria contosa e coseni a gogò.
Comunque se il perimetro é P e il numero di lati é N l'area é il quadrato di P
diviso $ 4*N^2*tan(180/n) $.Da cui che N deve essere tendente a infinito per massimizzare l'area.
Poi oggi ho provato a rispondere alle altre domande:sono giunto a piramidi di radici e formuloni a balousg,quindi credo che si debba passare per altre vie.
Testone come sono,ci proverò ancora,per incartarmi ancora in simili orrori,ma chissà...
Ciao