1/a + 2/b - 3/c = 1

[Spider]

Determinare tutte le soluzioni intere positive di:

$ \displaystyle\frac{1}{a} + \frac{2}{b} - \frac{3}{c} = 1 $

Salvatore

[Giggles]

Se le soluzioni sono intere positive 1/a + 2/b > 1. Allora 1/a > (b-2)/b. Se b = 1 ogni valore di a la soddisfa, lo stesso se b = 2. Se b = 3 , a < 3, cioè a = 1 o 2. Se b = 4 o maggiore, a = 1 è l'unico valore ammissibile di a. Procediamo per casi:
- b=1; implica, sostituendo, 3/c - 1/a = 1. Di nuovo, 3/c > 1, cioè c < 3, cioè c = 1 o 2. Nel primo caso si avrebbe 3 - 1/a = 1, irrisolvibile in N. Nel secondo, 3/2 - 1/a = 1 è risolta da a = 2. Quindi abbiamo la soluzione (2, 1, 2).
- b = 2; implica 1/a - 3/c = 0, ossia c = 3a. da cui la classe di soluzioni (a, 2, 3a), per ogni a di N(0).
- b = 3; a = 1 o 2. Nel primo caso, si ottiene 3/c = 2/3, irrisolvibile in N. Nel secondo caso si ottiene c = 18, che va bene. abbiamo così la soluzione (2, 3, 18).
- b >= 4; a = 1, che implica 2/b = 3/c, ossia 3b = 2c, cioè b pari, che scriviamo come 2n, e quindi c = 3n (con n > 1). si ha allora la classe di soluzioni (1, 2n, 3n), con n almeno 2.

Riassumendo, le soluzioni sono (2, 1, 2), (2, 3, 18 ), (a, 2, 3a) per ogni a intero positivo e (1, 2n, 3n) per n intero maggiore di 1.
Che brutto fare caso per caso però.

Ciao Salvatore spero sia giusto