premetto che non so se questa è la sezione giusta sapreste risolvere questo integrale?
$ $$\displaystyle{\int_0^\infty{x{\beta}e^{{-\beta}x}dx}}$$ $
in cui $ \displaystyle (0<x<\infty) $ e $ \displaystyle\beta>0 $
in particolare mi interessano i passaggi relativi alla scomposizione per parti e, ovviamente, il risultato.
integrazione per parti
Con sostituzione ovvia, poni $ y=\beta x $. Credo che dunque a te interessi l'intergale
$ \int xe^{-x}dx $
Ora, la formula di integrazione per parti dice
$ \int fG= FG - \int Fg $
(maiuscolo=primitiva)
e dunque poniamo $ f=e^{-x} $ e $ G=x $ di modo che $ F=-e^{-x} $ e $ g=1 $.
Così otteniamo
$ \int xe^{-x}dx=-xe^{-x} -\int -e^{-x}dx=-e^{-x}(1+x) $
Nel caso da te proposto, l'integrale era definito e bisognava operare la sostituzione sopra detta. In definitiva
$ \int_0^\infty x\beta e^{-\beta x}dx=-\frac{1}{\beta}(e^{-x}(1+x)\mid_0^\infty=\frac{1}{\beta} $
$ \int xe^{-x}dx $
Ora, la formula di integrazione per parti dice
$ \int fG= FG - \int Fg $
(maiuscolo=primitiva)
e dunque poniamo $ f=e^{-x} $ e $ G=x $ di modo che $ F=-e^{-x} $ e $ g=1 $.
Così otteniamo
$ \int xe^{-x}dx=-xe^{-x} -\int -e^{-x}dx=-e^{-x}(1+x) $
Nel caso da te proposto, l'integrale era definito e bisognava operare la sostituzione sopra detta. In definitiva
$ \int_0^\infty x\beta e^{-\beta x}dx=-\frac{1}{\beta}(e^{-x}(1+x)\mid_0^\infty=\frac{1}{\beta} $
