OliForum Matematico

premetto che non so se questa è la sezione giusta sapreste risolvere questo integrale?


$ $$\displaystyle{\int_0^\infty{x{\beta}e^{{-\beta}x}dx}}$$ $

in cui $ \displaystyle (0<x<\infty) $ e $ \displaystyle\beta>0 $

in particolare mi interessano i passaggi relativi alla scomposizione per parti e, ovviamente, il risultato.

Con sostituzione ovvia, poni $ y=\beta x $. Credo che dunque a te interessi l'intergale
$ \int xe^{-x}dx $

Ora, la formula di integrazione per parti dice
$ \int fG= FG - \int Fg $
(maiuscolo=primitiva)
e dunque poniamo $ f=e^{-x} $ e $ G=x $ di modo che $ F=-e^{-x} $ e $ g=1 $.

Così otteniamo

$ \int xe^{-x}dx=-xe^{-x} -\int -e^{-x}dx=-e^{-x}(1+x) $

Nel caso da te proposto, l'integrale era definito e bisognava operare la sostituzione sopra detta. In definitiva
$ \int_0^\infty x\beta e^{-\beta x}dx=-\frac{1}{\beta}(e^{-x}(1+x)\mid_0^\infty=\frac{1}{\beta} $

perfetto era proprio quello che volevo sapere.. grazie 1000!

quasi quasi ne approfitto e vi chiedo un'altra cosetta..