Esiste la successione delle somme parziali della serie armonica?
Cioè, so che esiste, ma se voglio alcolarne n° termine senza dover passare da tutti i precedenti, come si fa?
Ho cercato in giro e mi sembra di no, ma chiedevo conferma.
Il problema che mi a posto una mia amica in realtà è:
Quanti termini devo sommare per raggiungere 10?"
e forse può essere risolto con trucchetti strani evitando il problema generale.
Grazie mille
"Caso è lo pseudonimo usato da Dio quando non vuole firmare col proprio nome"
la risposta non la so, ma ovviamente puoi perlomeno dire che non ti serviranno più di $ 2^{18} $ termini, perchè $ s_{2^m} > 1 + \frac{m}{2} $. Sai che consolazione... però ti posso dire che non otterrai mai un intero.
Considera, per x >=1,
$ $ f(x) = \frac 1 {\lfloor x \rfloor} $
$ $ g(x) = \frac 1 x $
E' ovvio che
$ f(x) \geqslant g(x) $
E' tutta roba integrabile, quindi integrando da 1 a n entrambi i membri, ottieni
$ $ \sum_{i=1}^n \frac 1 i \geqslant \ln n $
Quindi se arrivi almeno a
$ n > e^{10} = 22000 $ + rotti, sei a posto.
In verità, la serie armonica parziale differisce dal logaritmo per una costante (Mascheroni-Euler, mi pare) con un errore che tende a zero (anche se con molta calma).
Quindi
$ $\sum_{i=1}^n \frac 1 i \simeq \ln n + \gamma $
$ $ \gamma = 0.577\dots $
Questo ti permette di stimare il numero cercato con
$ e^{10-\gamma} $ che, <mumble> risulta circa 12300 e rotti.
Per la cronaca, il risultato esatto, calcolato al computer, è 12367.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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