Risolvere in interi l'eq. (x+y)p = xy, dove p è un primo

[HiTLeuLeR]

Essendo p un primo naturale, risolvere in interi l'equazione $ (x+y)\cdot p = xy $. (Spagna, 1995)

[HumanTorch]

Prima ideuzza: sarà $ p=\frac{xy}{x+y} $ da cui elevando alla $ -1 $, avremo $ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p} $ da cui è semplice proseguire (sapendo che p>x>y (senza perdere generalità) $ \frac{1}{p}-\frac{1}{p+1}=\frac{1}{p(p+1)} $?

Seconda ideuzza : fattorizziamo as it follows: $ p^2=(x-p)(y-p) $. Da ciò, avendo $ \sigma_0[p^2]=3 $, dovremo avere anche al membro di destra come divisori 1, p e p^2. Ma se $ x\neq y $,ne avremo almeno 4, quindi $ x=y $ e $ p=x-p $, quindi $ x=y=2p $ o almeno uno dei due fattori pari a 1, ma questo caso è gia stato trattato

(2p;2p), (p+1;p(p+1)), (p(p+1);p+1)

[HiTLeuLeR]

Le idee sono buone entrambe, però...

Prima ideuzza: sarà $ p=\frac{xy}{x+y} $ da cui elevando alla $ -1 $, avremo [...]

...qui dovresti quantomeno garantirti che non si stia dividendo per zero...

[...] dovremo avere anche al membro di destra come divisori 1, p e p^2. [...]

...e qui non consideri la possibilità che i divisori siano interi negativi. Del resto, il problema chiede di risolvere in interi l'equazione proposta. In ogni caso, devo dirti che trovo l'idea d'usare la $ \sigma_0(\cdot) $ veramente clever!

Su, adesso metti a punto i dettagli del caso...

[HumanTorch]

Ahhh, i dettagli, la mia morte ; nel primo caso, se $ x+y=0 $, sanche $ xy $ lo dovrà essere, da ciò la soluzione $ (0;0) $

Nel secondo caso, se dovessimo considerare i divisori negativi, avremmo un \sigma_0 doppio per una corrispondenza biunivoca fra quelli positivi e quelli negativi. Quindi se i delta a un membro e all'altro sono diversi, raddoppiando rimarranno diversi. Grazie per les complimentes , onorè

[HiTLeuLeR]

Quindi se i delta a un membro e all'altro sono diversi, raddoppiando rimarranno diversi.

Uh... Non mi è del tutto chiaro cosa intendi quando parli di "delta", ma tengo per certo un fatto: fra le tue manca un intero set di soluzioni. Pertanto qualcosa ancora non torna...

In quanto ai complimenti, poi, non affezionartici troppo: molto meglio le critiche, credi a me...

[HumanTorch]

Uuuh, verissimo, (p-1;p-p^2) U (p-p^2;p-1)

[HiTLeuLeR]

Mmmh... Ho capito, vedo di mettere un po' d'ordine, va'! Wlog, possiamo ammettere che $ p $ divida $ x $, i.e. che sia $ x = pk $, con $ k \in \mathbb{Z} $. Allora $ kp + y = ky $, ciuè $ (k-1)y = kp $. Da qui $ (k-1) \mid p $, ché $ \gcd(k-1,k) = 1 $. Dunque a forza $ k = 1 \pm 1 $ oppure $ k = 1 \pm p $. Adesso son solo conti, e si trova: i) x = y = 0, se k = 0; ii) x = y = 2p, se k = 2; iii) x = p(p+1) ed y = p+1, se k = p+1; iv) x = p(1-p) ed y = p-1, se k = 1-p. Ne risulta per simmetria il set completo delle soluzioni.