NOTA: non lasciatevi impressionare, è un problema "tutto fumo e niente arrosto".
Un primo ch'è differenza di due quinte potenze
Un primo ch'è differenza di due quinte potenze
Se p > 2 è un primo naturale esprimibile come differenza di due quinte potenze intere, allora $ \displaystyle\sqrt{\frac{4p+1}{5}} = \frac{n^2 + 1}{2} $, per qualche $ n\in\mathbb{N} $. (Irlanda 2001)
NOTA: non lasciatevi impressionare, è un problema "tutto fumo e niente arrosto".
NOTA: non lasciatevi impressionare, è un problema "tutto fumo e niente arrosto".
carino questo....
$ p=b^5-a^5=(b-a)(b^4+b^3a+b^2a^2+ba^3+a^4) $
visto che $ p $ è primo e che $ b^4+b^3a+b^2a^2+ba^3+a^4 $ è ben lungi dall'essere uguale ad 1, $ b=a+1 $.il nostro $ p $ diventa
$ p=(a+1)^4+(a+1)^3a+(a+1)^2a^2+(a+1)a^3+a^4= $$ 5a^4+10a^3+10a^2+5a+1 $
$ \displaystyle \frac{4p+1}{5}=4a^4+8a^3+8a^2+4a+1=(2a^2+2a+1)^2 $
$ \displaystyle \sqrt{\frac{4p+1}{5}}=2a^2+2a+1= $ $ \displaystyle \frac{(2a+1)^2+1}{2}=\frac{n^2+1}{5} $
con $ n=2a+1=a+b $
ciao ciao
$ p=b^5-a^5=(b-a)(b^4+b^3a+b^2a^2+ba^3+a^4) $
visto che $ p $ è primo e che $ b^4+b^3a+b^2a^2+ba^3+a^4 $ è ben lungi dall'essere uguale ad 1, $ b=a+1 $.il nostro $ p $ diventa
$ p=(a+1)^4+(a+1)^3a+(a+1)^2a^2+(a+1)a^3+a^4= $$ 5a^4+10a^3+10a^2+5a+1 $
$ \displaystyle \frac{4p+1}{5}=4a^4+8a^3+8a^2+4a+1=(2a^2+2a+1)^2 $
$ \displaystyle \sqrt{\frac{4p+1}{5}}=2a^2+2a+1= $ $ \displaystyle \frac{(2a+1)^2+1}{2}=\frac{n^2+1}{5} $
con $ n=2a+1=a+b $
ciao ciao
