cerchiamo ancora
cerchiamo ancora
Costruire i(l) cerchi(o) dati una sua tangente, un suo diametro e un secondo cerchio ad esso tangente.
Si. Garantisco che, fino a prova contraria, ho trovato una via sintetica alla soluzione.gianmaria ha scritto:Altro che "un po'"! Puoi almeno garantirmi l'esistenza di una soluzione che non sfrutti l'analitica? E magari un piccolo suggerimento?
La mia idea trasforma il problema dato in quello di trovare i(l) cerchi(o) per due punti dati e tangentie ad una data retta.
A Sprmnt21
E’ facile arrivare al punto da te indicato, ma non saprei continuare. La cosa mi fa particolarmente rabbia perché in passato ho risolto (non molto elegantemente) quel problema e adesso non ci riesco più; ti prego di pubblicare la soluzione non appena riterrai di aver lasciato il quesito per un tempo sufficiente. Ecco la prima parte.
Siano O il centro del cerchio noto e r il suo raggio, t la tangente nota, d la retta diametrale, C e R centro e raggio del cerchio da trovare; siano inoltre A la proiezione di O su t e C’ quella di C sulla retta OA. Per la tangenza con t si ha R = C’A = |OA-C’O| mentre per la tangenza fra le circonferenze è CO = |r $ \pm $R|. Sostituiamo il valore di R, notando che dopo il $ \pm $il valore assoluto è inutile: il secondo membro diventa |r $ \pm $(OA-C’O)| = | $ \pm $(OA- C’O $ \pm $r)| = |(OA $ \pm $r)-C’O| = distanza di C dalle rette t’ e t” parallele a t e distanti r da essa. Quindi C deve essere equidistante da O e da una delle rette t’ e t”, nonché appartenere alla retta d. L’ultima condizione può ovviamente essere sostituita dall’equidistanza anche da O’, simmetrico di O rispetto a d e si ha il tuo suggerimento.
A Sotyri : l’uso della geometria analitica rende banali molti problemi, fra cui quello attuale; servirsene implica l’incapacità di risolverli con metodi sintetici. Poiché però è proprio il mio caso, ecco l’impostazione della soluzione analitica; rimando a quanto scritto a Sprmnt21 per il significato delle lettere e la conclusione trovata. Scelgo un sistema con l’origine in O e assi orientati in modo che t abbia equazione y = a con a>0, pongo $ b_{1,2}=a \pm r $ e per brevità tralascio l’indice: il luogo dei punti equidistanti da O e t’ (o t”) è dato da $ x^2+y^2=(y-b)^2 $ , cioè da una parabola con fuoco in O e direttrice t’ (o t”). I centri cercati saranno le intersezioni di queste parabole con d (a cui posso assegnare l’equazione y=mx+q o altra equivalente)
E’ facile arrivare al punto da te indicato, ma non saprei continuare. La cosa mi fa particolarmente rabbia perché in passato ho risolto (non molto elegantemente) quel problema e adesso non ci riesco più; ti prego di pubblicare la soluzione non appena riterrai di aver lasciato il quesito per un tempo sufficiente. Ecco la prima parte.
Siano O il centro del cerchio noto e r il suo raggio, t la tangente nota, d la retta diametrale, C e R centro e raggio del cerchio da trovare; siano inoltre A la proiezione di O su t e C’ quella di C sulla retta OA. Per la tangenza con t si ha R = C’A = |OA-C’O| mentre per la tangenza fra le circonferenze è CO = |r $ \pm $R|. Sostituiamo il valore di R, notando che dopo il $ \pm $il valore assoluto è inutile: il secondo membro diventa |r $ \pm $(OA-C’O)| = | $ \pm $(OA- C’O $ \pm $r)| = |(OA $ \pm $r)-C’O| = distanza di C dalle rette t’ e t” parallele a t e distanti r da essa. Quindi C deve essere equidistante da O e da una delle rette t’ e t”, nonché appartenere alla retta d. L’ultima condizione può ovviamente essere sostituita dall’equidistanza anche da O’, simmetrico di O rispetto a d e si ha il tuo suggerimento.
A Sotyri : l’uso della geometria analitica rende banali molti problemi, fra cui quello attuale; servirsene implica l’incapacità di risolverli con metodi sintetici. Poiché però è proprio il mio caso, ecco l’impostazione della soluzione analitica; rimando a quanto scritto a Sprmnt21 per il significato delle lettere e la conclusione trovata. Scelgo un sistema con l’origine in O e assi orientati in modo che t abbia equazione y = a con a>0, pongo $ b_{1,2}=a \pm r $ e per brevità tralascio l’indice: il luogo dei punti equidistanti da O e t’ (o t”) è dato da $ x^2+y^2=(y-b)^2 $ , cioè da una parabola con fuoco in O e direttrice t’ (o t”). I centri cercati saranno le intersezioni di queste parabole con d (a cui posso assegnare l’equazione y=mx+q o altra equivalente)
perfetto Gianmaria. A questo punto il problema e' un classico:
Dati A, B e t su un piano costruire i cerchi per A e B e tangenti a t.
Supponendo di aver risolto il problema, analizziamo la (in effetti una delle) figura risultante. Se P e' il punto in cui la retta AB taglia t e T e' il punto di tangenza del nostro cerchio, si ha che PT^2 = PA*PB. Quindi per risolvere il problema basta costruire un segmento medio proporzionale fra due dati segmenti.
Un(o dei) (*) modo per fare questo e' il seghuente. Sia q un qualuneu cerchio per A e B e sia PQ una delle tangenti da P a q. PQ e' il segmento cercato. Prendendo T e T' su t simmetrici rispetto a P e distanti PQ da P si hanno i punti di tangenza su t dei cerchi soluzione. I centri dei cerchi ovviamente trovansi sull'asse di AB e sulle verticali da T e T' rispetto a t.
ne approfitto per dire:
"cerchiamo" ancora!!!
Costruire i(l) cerchi(o) tangenti ad un cerchio dato e pasanti per due dati punti.
PS
(*) trovare almeno un modo alternativo per costruire T.
Dati A, B e t su un piano costruire i cerchi per A e B e tangenti a t.
Supponendo di aver risolto il problema, analizziamo la (in effetti una delle) figura risultante. Se P e' il punto in cui la retta AB taglia t e T e' il punto di tangenza del nostro cerchio, si ha che PT^2 = PA*PB. Quindi per risolvere il problema basta costruire un segmento medio proporzionale fra due dati segmenti.
Un(o dei) (*) modo per fare questo e' il seghuente. Sia q un qualuneu cerchio per A e B e sia PQ una delle tangenti da P a q. PQ e' il segmento cercato. Prendendo T e T' su t simmetrici rispetto a P e distanti PQ da P si hanno i punti di tangenza su t dei cerchi soluzione. I centri dei cerchi ovviamente trovansi sull'asse di AB e sulle verticali da T e T' rispetto a t.
ne approfitto per dire:
"cerchiamo" ancora!!!
Costruire i(l) cerchi(o) tangenti ad un cerchio dato e pasanti per due dati punti.
PS
(*) trovare almeno un modo alternativo per costruire T.
Un metodo alternativo è il seguente:
Supposto PB>PA (altrimenti basta scambiare A e B) si tracci la circonferenza di diametro PB, che incontra in Q la perpendicolare a PB per A: per il primo teorema di Euclide PQ è il segmento cercato.
Oppure si può usare il secondo teorema di Euclide: se A' è il simmetrico di A rispetto a P, Q è l'intersezione fra la circonferenza di diametro BA' e la perpendicolare a PB condotta per P.
Per completezza, bisogna considerare anche il caso in cui AB è parallelo a t, anche se ha soluzione piuttosto ovvia. E' bene anche aggiungere che A e B devono essere nello stesso semipiano delimitato da t, in quanto una circonferenza tangente a t sta necessariamente in un solo semipiano.
Supposto PB>PA (altrimenti basta scambiare A e B) si tracci la circonferenza di diametro PB, che incontra in Q la perpendicolare a PB per A: per il primo teorema di Euclide PQ è il segmento cercato.
Oppure si può usare il secondo teorema di Euclide: se A' è il simmetrico di A rispetto a P, Q è l'intersezione fra la circonferenza di diametro BA' e la perpendicolare a PB condotta per P.
Per completezza, bisogna considerare anche il caso in cui AB è parallelo a t, anche se ha soluzione piuttosto ovvia. E' bene anche aggiungere che A e B devono essere nello stesso semipiano delimitato da t, in quanto una circonferenza tangente a t sta necessariamente in un solo semipiano.
Ultima modifica di gianmaria il 18 feb 2006, 19:37, modificato 1 volta in totale.
-
HumanTorch
- Messaggi: 281
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Tricase
le due rette (quella del diametro e quella tangente), se non parallele si incontreranno in un punto M; costuiamo la simmetrica della retta tangente rispetto alla retta passante per il centro . La circonferenza dovrà essere contenuta fra tale retta t' e la retta t tangente, quindi la circonferenza tangente deve toccare anche t o t'; tracciamo il raggio della circonferenza tangente C perpendicolare a t (per simmetria supponiamo che sia questa la retta a essere toccata) e detto P e P' i punti di intersezione (anche coincidenti) fra la t e C
tracciamo ora la parallela a t t.c. t e questa nuova retta r abbiano distanza raggio di C. Tecnicamente il centro sarebbe il punto di intersezione fra la retta del diametro e la parabola che ha per fuoco il centro di C e per direttrice l'ultima retta tracciata. Ora però devo vedere se è possibile trovare tale punto senza la parabola, magari con u pò di angoli.
tracciamo ora la parallela a t t.c. t e questa nuova retta r abbiano distanza raggio di C. Tecnicamente il centro sarebbe il punto di intersezione fra la retta del diametro e la parabola che ha per fuoco il centro di C e per direttrice l'ultima retta tracciata. Ora però devo vedere se è possibile trovare tale punto senza la parabola, magari con u pò di angoli.