costruzione campi finiti

hexen · Messaggio da **hexen** » 12 gen 2006, 11:56

premetto che il corso di algebra che ho seguito è un po' strano, su ogni libro si trova $ \mathbb K[x]/(p(x)) $ definito come qualcosa relativo agli anelli mentre noi gli anelli non li abbiam fatti.

Sul childs ho visto che $ \mathbb K[x]/(p(x)) $ rappresenta le classi di congruenza modulo p(x). Per la divisione di polinomi, i suoi elementi sono polinomi di grado strettamente minore di $ \deg p(x) $.

Se $ \mathbb K $ è finito e ha n elementi e se $ d=\deg p(x) $ allora la cardinalità di $ \mathbb K[x]/(p(x)) $ è $ n^d $. Ho così forse costruito $ \mathbb F_{n^d} $?? Non so però usare il fatto che p(x) dev'essere irriducibile su K...
Il fatto che n è primo è forse dovuto al fatto che se voglio usare un campo per costruire polinomi devo per forza usare $ \mathbb Z/p\mathbb Z $ con p primo? Non so...

Marco · Messaggio da **Marco** » 12 gen 2006, 17:36

Beh, senza gli anelli è difficile, comunque proviamo...

In un campo hai senz'altro 0 e 1. Facendo i multipli di 1 trovi qualcosa che assomiglia molto a Z (gli interi) oppure a Z/n (int. mod. n). Nel primo caso dici che la caratteristica è 0, nel secondo è n.

Ora, però, in un campo tutti gli elementi non nulli sono invertibili. E questo non può essere vero se n non è primo. [perché? trovare il controesempio...]

Quindi la caratteristica, o è 0, o è p (p primo). Escludiamo il caso char=0, dato che il campo risulterebbe infinito.

La risposta alla tua domanda è: sì, a patto che il polinomio p() sia irriducibile. Se fosse p(x)=q(x)r(x), con i fattori di grado >0, avresti, di nuovo degli elementi non invertibili nel tuo campo: q(x) e r(x).

Es.: dimostrare che q() e r() non sono nulli in K[x]/(p). dimostrare che il prodotto è nullo.

Questo dimostra che il p() a quoziente deve essere irriducibile.

Infine, occhio ad un particolare: il tuo n non deve essere necessariamente primo, ma basta che esista un campo finito con n elementi. (e quindi, a posteriori, anche una potenza di primo va bene)

Detto in altri termini, se hai un campo finito con n elementi e un polinomio su di esso irriducibile e di grado d (siamo sicuri che ne esistano?), allora sai costruire un campo con n^d elementi.

Ci sarebbe ancora da dimostrare un fatto non banale: che tutti gli elementi non nulli nel quozione K[x]/p(x) sono invertibili. Se tu avessi la teoria degli anelli, sarebbe gratis perché quozienti per un ideale massimale. Non ce l'hai e ti devi accontentare delle mani:

Sia q(x) un polinomio di grado <d (rappresentante canonico della classe mod p(x) ). Chi è il M.C.D. tra p(x) e q(x)? E' un divisore di p(x), ma deve avere grado <d, quindi è 1. Per la formula di Bezout, esistono r() e s() polinomi t.c.
rp + sq = 1 (lo stesso per gli interi...). Passando quest'ultima modulo p(), ottieni sq=1, ossia s è l'inverso di q.

Può esistere un campo con n elementi se n non è potenza di primo? NO.

Sia p la caratteristica del campo e q un primo diverso da p che divide n. Per il teorema di Nonmiricordochì per i gruppi finiti, ci deve essere un elemento k che ha ordine additivo q (vedi il campo come un gruppo additivo). E ma allora non torna: k e q non sono nulli, ma kq=0.

Per cui n è per forza una potenza di primo.

Se dimostri che esiste almeno un polinomio di grado d irriducibile su Z/p per ogni d, hai vinto, e sai che tutti i possibili p^d hanno almeno un campo... HINT: conta i polinomi e conta le fattorizzazioni possibili...

Volendo proseguire, si dovrebbe far vedere che due campi finiti con lo stesso numero di elementi sono isomorfi e credo che questo completi la caratterizzazione dei campi finiti.

hexen · Messaggio da **hexen** » 12 gen 2006, 22:40

Marco ha scritto:
Es.: dimostrare che q() e r() non sono nulli in K[x]/(p). dimostrare che il prodotto è nullo.

Può essere usato per dire quali sono i divisori di zero in K[x]/(p)?? come??

Marco · Messaggio da **Marco** » 13 gen 2006, 07:32

In che senso?

hexen · Messaggio da **hexen** » 13 gen 2006, 09:20

se venisse chiesto di trovare i divisori di zero in un campo K[x]/(p) sarebbero, come lasci nell'esercizio che ho quotato, i fattori di p che dev'essere irriducibile... Di conseguenza i divisori di zero sarebbero le costanti?

Marco · Messaggio da **Marco** » 13 gen 2006, 14:13

Al tempo!! Ti stai confondendo.

I divisori di zero di un campo sono solo lo zero (se no, col cavolo, che è un campo!).

Discorso diverso se vuoi trovare i d.d.z. del quoziente K[x]/(p). [non hai la teoria degli anelli, però... beh, ad ogni modo...]

Occhio alle implicazioni: io ti ho detto che i fattori non banali (=non costanti) sono non invertibili, ma non ho mai datto che i non invertibili sono i fattori di p().

In generale, un multiplo di un non invertibile è non invertibile (Es.: dimostrarlo) [in altri termini, l'ideale generato da un non invertibile contiene solo non invertibili; perdipiù, vale il viceversa].

Applicato al nostro caso, ti dà subito un controesempio che gli invertibili sono solo i fattori del polinomio a quoziente. [es.: costruire un controesempio con quest'idea]

L'enunciato vero è che in un anello quoziente del tipo k[x]/(p(x)), i d.d.z. sono tutto i soli quelli detti sopra (multipli di fattori non banali). Perché? HINT: in K[x] vale la fattorizzazione unica.

Infine, abbiamo detto che se q() è un divisore di grado >0 di p(), allora è non invertibile nel quoziente. Dove fallisce il ragionamento se q() ha grado 0?