Un razzo è in orbita circolare attorno alla luna.
Come e quanto gas deve espellere per toccare un'orbita circolare complanare alla sua più bassa nel punto opposto alla luna? (il gas viene sparato ad una velocità definita).
[Meccanica] - Orbita lunare
Bozza di Soluzione
Sia m la quantita' di carburante consumato, M la massa del razzo, L la massa della Luna, R l'orbita di partenza e r<R l'orbita di arrivo.
Per la Conservazione dell'Energia, l'Energia Meccanica del razzo a distanza R è uguale all'Energia Cinetica assunta dal razzo piu' l'Energia Meccanica dello stesso a distanza r:
$ E_R = E_C + E_r $
$ E_R_{cin} = \frac{1}{2} (M+m) v_R^2 $
Calcolo $ v_R^2 $ uguagliando Forza Centripeta e Forza Gravitazionale di una qualsiasi massa $ \mu $:
$ \mu \frac{v^2}{d} = \gamma \mu \frac{M}{d^2} \Leftrightarrow $v_R^2 = \gamma \frac{L}{R} $
$ E_R_{pot} = -(M+m) \gamma \frac{L}{R} $
$ E_R = -\frac{1}{2} (M+m) \gamma \frac{L}{R} $
Anologo calcolo per $ E_r = -\frac{1}{2} M \gamma \frac{L}{r} $
Quindi: $ 1/2 (M+m) \gamma \frac{L}{R} = \frac{1}{2} m v^2 -\frac{1}{2} M \gamma \frac{L}{r} $
Facendo i calcoli si ottiene:
$ \[ m = \frac{M \gamma L}{v^2 R + \gamma L } ( \frac{R}{r} - 1 ) \] $
Domanda: l'Energia Potenziale del carburante che esce dal razzo è trascurabile??
Datemi dei suggerimenti a riguardo...
Per la Conservazione dell'Energia, l'Energia Meccanica del razzo a distanza R è uguale all'Energia Cinetica assunta dal razzo piu' l'Energia Meccanica dello stesso a distanza r:
$ E_R = E_C + E_r $
$ E_R_{cin} = \frac{1}{2} (M+m) v_R^2 $
Calcolo $ v_R^2 $ uguagliando Forza Centripeta e Forza Gravitazionale di una qualsiasi massa $ \mu $:
$ \mu \frac{v^2}{d} = \gamma \mu \frac{M}{d^2} \Leftrightarrow $v_R^2 = \gamma \frac{L}{R} $
$ E_R_{pot} = -(M+m) \gamma \frac{L}{R} $
$ E_R = -\frac{1}{2} (M+m) \gamma \frac{L}{R} $
Anologo calcolo per $ E_r = -\frac{1}{2} M \gamma \frac{L}{r} $
Quindi: $ 1/2 (M+m) \gamma \frac{L}{R} = \frac{1}{2} m v^2 -\frac{1}{2} M \gamma \frac{L}{r} $
Facendo i calcoli si ottiene:
$ \[ m = \frac{M \gamma L}{v^2 R + \gamma L } ( \frac{R}{r} - 1 ) \] $
Domanda: l'Energia Potenziale del carburante che esce dal razzo è trascurabile??
Datemi dei suggerimenti a riguardo...
Ultima modifica di Gauss_87 il 03 feb 2006, 10:19, modificato 2 volte in totale.
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
testo poco comprensibile
in effetti anche io nn ho capito perfettamente il testo, nel senso che nella mia soluzione ho provato ad interpretare..
cmq io ho risolto il problema nel caso in cui il razzo debba semplicemente raggiungere un'orbita inferiore, in seguito raggiungerà il punto opposto senza spendere carburante perchè ci pensa la Forza centripeta..
Forse sarebbe più interessante un problema del tipo:
qual'è il minimo consumo di carburante affinchè il razzo raggiunga il punto opposto di un'orbita inferiore?
A quel punto il problema dovrebbe diventare più complesso e considerare la traiettoria più conveniente, a forma di ellisse, per raggiungere il punto suddetto
cmq io ho risolto il problema nel caso in cui il razzo debba semplicemente raggiungere un'orbita inferiore, in seguito raggiungerà il punto opposto senza spendere carburante perchè ci pensa la Forza centripeta..
Forse sarebbe più interessante un problema del tipo:
qual'è il minimo consumo di carburante affinchè il razzo raggiunga il punto opposto di un'orbita inferiore?
A quel punto il problema dovrebbe diventare più complesso e considerare la traiettoria più conveniente, a forma di ellisse, per raggiungere il punto suddetto
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
Ah,nn avevo letto orbita più bassa!Comunque il problema si risolve con conservazione dell'energia(nell'orbita di trasferimento!) e conservazione del momento angolare(sempre nell'orbita di trasferimento!).Il principio d conservazione dell'energia per come l'hai applicato è sbagliato perchè non hai considerato che i razzi fanno variare l'energia meccanica!
La sonda si trova su un'orbita di raggio $ R $.Deve arrivare in un'orbita circolare più bassa di raggio $ r<R $.La sonda si trova inizialmente in un punto della circonferenza di raggio R mettiamo P,poi nell'istante esatto in cui approda nell'orbita di raggio r si trova nel punto P'."Nel punto opposto alla luna" vuol dire che il segmento PP' deve passare per il centro della luna(in effetti ci vorrebbe un disegno!).